Si X admet une densité f et que h est de plus dérivable, on peut déterminer la
densité g = dG/dy de Y par dérivation. Dans le premier cas (h
′ > 0) :
g(y) =
dF
du
u=h −1 (y)
×
dh
−1 (y)
dy
=
f
h
−1 (y)
h ′ [h −1 (y)]
Dans le second cas (h
′ < 0) :
g(y) =−
dF
du
u=h −1 (y)
×
dh
−1 (y)
dy
=−
f
h
−1 (y)
h ′ [h −1 (y)]
Dans les deux cas la densité de Y peut s'écrire sous la même forme :
g(y) =
f
h
−1 (y)
|h ′ [h −1 (y)]|
Remarque
Même dans le cas où la fonction h n'est pas inversible, on peut parfois
déterminer la loi de Y = h(X) . Considérons par exemple h(x) = x
2 ; la
fonction h n'est pas injective car h(−x) = h(x) pour tout x réel et cependant on peut déterminer la loi de la v.a. positive Y = X
2 , car pour y > 0:
X
2 < y ⇔−
√ y < X <
√ y
d'où G(y) = P Y (Y < y) = P X
−
√ y < X <
√ y
= F
√ y
− F
−
√ y
.
Bien entendu pour y 0 on a G(y) = 0 . Si X admet une densité f, alors
Y admet comme densité pour y > 0:
g(y) =
1
2
√ y
f
√ y
+ f
−
√ y
Variable aléatoire 55
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h
–1 (y)
h(X)
X
y
Figure 2.10