– de Pearson :
β 2 =
µ 4
σ 4
– de Fisher :
γ 2 = β 2 − 3 =
µ 4
σ 4 − 3
Le terme de comparaison est ici la loi normale standard pour laquelle
β 2 = 3, avec γ 2 > 0 pour une distribution plus aplatie que la distribution normale de même moyenne et de même écart type.
G. Changement de variable
On cherche à déterminer la loi de probabilité de la v.a. Y = h(X) , connaissant
la fonction de répartition (f.r.) de la v.a. X. Ceci se fera sans difficulté si h est
une application réelle continue et bijective, donc inversible. La f.r. de Y est en
effet définie par :
G(y) = P Y (Y < y) = P X {h(X) Nous allons alors distinguer deux cas :
– h est croissante :
h(X) −1 (y)
et G(y) = P X
X < h
−1 (y)
= F
h
−1 (y)
54 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
h(X)
X
y
h
–1 (y)
Figure 2.9
– h est décroissante :
h(X) h
−1 (y)
et G(y) = P X
X > h
−1 (y)
= 1 − F
h
−1 (y)