3) Moments non centrés et centrés
Le moment non centré d'ordre r ∈ N
∗ de X est la quantité, lorsqu'elle existe :
m r (X) = E(X
r ) =
+∞
−∞
x
r f (x)dx
Le moment centré d'ordre r ∈ N
∗ de X est la quantité, lorsqu'elle existe :
µ r (X) = E [X − E(X)]
r =
+∞
−∞
[x − E(X)]
r f (x)dx
a) Paramètres d'asymétrie
L'asymétrie d'une distribution peut se caractériser par le moment centré d'ordre
trois.
La distribution est :
– symétrique si µ 3 = 0;
– dissymétrique étalée vers la droite si µ 3 > 0;
– dissymétrique étalée vers la gauche si µ 3 < 0.
Variable aléatoire 53
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
µ 3 > 0
µ 3 = 0
µ 3 < 0
Figure 2.8
Pour obtenir un paramètre indépendant des unités, on considère les coefficients de symétrie (skewness):
– de Pearson :
β 1 =
µ
2
3
µ
3
2
– de Fisher :
γ 1 =
µ 3
σ 3
b) Paramètres d'aplatissement
Ils sont calculés à partir du moment centré d'ordre quatre ; ce sont les coefficients d'aplatissement (kurtosis), invariants aussi par changement d'échelle ou
d'origine :
P 4 Si X et Y sont deux v.a. indépendantes admettant une variance :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )