et représente donc une densité moyenne, puisqu'étant le « poids » (probabilité)
de l'intervalle, divisé par sa longueur. Si on fait tendre cette longueur vers 0, la
limite, si elle existe, représentera la probabilité d'un intervalle de longueur infiniment petite dx. Ce sera le cas si F admet une dérivée f :
lim
h→0
1
h
[F(x + h) − F(x)] = F
′ (x) = f (x)
Dans ce cas, l'équivalent de la probabilité du point x pour une loi discrète
peut s'écrire symboliquement P X (x X < x + dx) = f (x)dx, la fonction
f = dF/dx étant appelée densité de probabilité de la v.a. X dont la loi est alors
qualifiée d'absolument continue. Dans ce cas la loi de X est déterminée par sa
densité f puisque F est définie comme la primitive de f qui s'annule pour
x =−∞ :
F(x) =
x
−∞
f (t)dt
50 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
f(t)
0
xt
F(X) F(x)
Figure 2.6
NB : On peut trouver des exemples, assez complexes, où F est continue
et strictement croissante mais n'admet pas de densité, c'est-à-dire de cas
où la loi est continue mais pas absolument continue. Dans la pratique, les
lois usuelles que nous rencontrerons seront soit discrètes, soit définies par
une densité.
Propriétés
P 1 Une densité est positive :
f 0;
propriété immédiate puisque f est la dérivée d'une fonction croissante au sens
large.