c'est-à-dire que la probabilité d'un point est toujours nulle, ce qu'on traduit en
disant que la loi est diffuse. Dans le cas où certains points ont une probabilité
non nulle on dit que la loi est mixte, comportant une partie continue et une partie discrète correspondant à ces points.
Exemple 2.16
Considérons la f.r. F définie par :
F (x) =













0 si x 0
x
4
si 0 < x 1
x
2
si 1 < x 2
1 si 2 < x
Cette fonction est continue pour x = 0 et x = 2 . Par contre, si elle est
bien continue à gauche en x = 1 , comme toute f.r., avec lim
h→0 +
F (1 − h)
= F (1) =
1
4
, elle n'est pas continue en ce point car :
lim
h→0 +
F (1 + h) = lim
h→0 +
1
2
(1 + h) =
1
2
= F (1) + P X (X = 1)
et par conséquent il s'agit d'une loi mixte, avec une partie continue sur les
intervalles ]−∞,1[ et ]1,+∞[, et une partie discrète concentrée au point
1 avec P X (X = 1) =
1
4
.
Exemple 2.17
On peut donner également un exemple plus concret, qui est celui d'une
v.a. X représentant la durée de vie d'une ampoule qui suit une loi exponentielle (cf. chap. 3, § II, B). S'il y a une probabilité p > 0 que cette ampoule claque lorsqu'on l'allume, la f.r. de X est alors définie par :
F (x) =
0
si x 0
p + (1 − p)(1 − e
−x ) si x > 0
avec donc une masse non nulle au point x = 0 :
lim
h→0 +
F (0 + h) = p = P X (X = 0)
E. Loi absolument continue
La valeur moyenne de la probabilité d'un intervalle de longueur h > 0 est :
1
h
P X (x X < x + h) =
F(x + h) − F(x)
h
Variable aléatoire 49
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