En effet, F(x) est une probabilité et quand x →−∞ l'intervalle ]−∞,x[
devient ∅ et X
−1 (∅) =∅ ; quand x →+∞, l'intervalle ]−∞,x[ devient R et
X
−1 (R) = .
48 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
P X (X = x)
Figure 2.5
On a en effet ]−∞,b[ = ]−∞,a[ ∪ [a,b[ donc :
P X (X < b) = P X (X < a) x+ P X (a X < b).
D. Loi continue
Si la fonction F est continue, i.e. continue à droite, on dit que X est une
variable aléatoire réelle continue. Dans ce cas, pour tout réel x :
P X (X = x) = 0
P 2 Elle prend ses valeurs entre 0 et 1 :
0 F(x) 1 avec
lim
x→−∞
F(x) = 0 et
lim
x→+∞
F(x) = 1
P 3 Elle est continue à gauche :
lim
h→0 +
F(x − h) = F(x)
car l'intervalle ]−∞,x − h[ ne contient jamais le point x et devient donc l'intervalle ]−∞,x[ quand h → 0
+ .
On peut établir que ces trois propriétés sont caractéristiques d'une fonction
de répartition. Si on retient la définition F (x) = P X (X x) , cette fonction F
est alors continue à droite.
Par contre, pour tout h > 0 l'intervalle ]−∞,x + h[ contient toujours le
point x et devient l'intervalle ]−∞,x] = ]−∞,x[ ∪{x} quand h → 0
+ . Par
conséquent :
lim
h→0 +
F(x + h) = F(x) + P X (X = x)
Ainsi, aux points x de discontinuité de F, son graphe présente un saut de hauteur P X (X = x) : voir figure 2.5.
P 4 La probabilité de l'intervalle [a,b[ , pour a < b, se calcule par :
P X (a X < b) = F(b) − F(a)