Notons que ce moment centré peut s'exprimer, à partir de la formule du binôme, en fonction des moments non centrés m r ,m r−1 ,...,m 1 . Les premiers moments
sont :
m 1 (X) = E(X),µ 1 (X) = 0,µ 2 (X) = m 2 (X) − m
2
1 (X) = V (X)
II. Variable aléatoire réelle continue
A. Définition
On appelle v.a. réelle définie sur (,A) une application X : → R telle que
pour tout intervalle I ⊂ R on ait :
X
−1 (I ) = {ω ∈ / X (ω) ∈ I } ∈ A
Cela exprime que l'image inverse d'un intervalle quelconque est un événement. Il suffit en fait de vérifier que pour tout réel x :
X
−1 (]−∞,x[) ∈ A
Exemple 2.15
La durée de vie d'une lampe ou le salaire d'un individu tiré au sort dans
une population sont représentés par des v.a. continues.
B. Loi de probabilité
Elle est déterminée ici par la fonction de répartition (f.r.) F,d éfinie pour tout x
réel par :
F(x) = P X (X < x) = P
X
−1 (]−∞,x[)
= P {ω ∈ / X (ω) < x}
qui représente la probabilité que X soit strictement à gauche de x.
C. Propriétés de la fonction de répartition
P 1 Elle est croissante au sens large.
En effet, pour x < y on a (X < x) ⇒ (X < y) et par conséquent
F(x) = P X (X < x) P X (X < y) = F(y) .
Variable aléatoire 47
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