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Variable aléatoire 45
Propriétés
P 1 Par définition :
V (X) 0
avec :
V (X) = 0 ⇔ p i [x i − E(X)] = 0 ∀i ∈ N ⇔x i = E(X) ∀i ∈ N
la variance ne peut être nulle que si X = E(X) avec une probabilité égale à
un, i.e. si X est une v.a. certaine : P X {X = E(X)}=1.
P 2 Pour tout réel a :
V (X + a) = V (X)
c'est-à-dire que le moment centré d'ordre deux est invariant par translation ou
changement d'origine.
Ceci provient du fait que X + a − E(X + a) = X − E(X) .
P 3 Pour tout réel a :
V (aX) = a
2 V (X)
un changement d'échelle modifie la variance ; ceci est dû au fait que
[aX − E(aX)]
2 = a
2 [X − E(X)]
2 .
P 4 Pour le calcul de la variance, il est souvent préférable d'utiliser la formule développée:
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X)
qui se déduit des propriétés de linéarité de l'opérateur espérance :
V (X) = E
X
2 − 2XE(X) + E
2 (X)
= E(X
2 ) − 2E
2 (X) + E
2 (X)
= E(X
2 ) − E
2 (X)
P 5 Si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
cette propriété se déduisant du fait que dans ce cas E(XY) = E(X)E(Y ) , que
l'on démontre aisément à partir de la condition d'indépendance qui s'écrit :
P (X,Y ) {X = x i ,Y = y j }=P X {X = x i }P Y {Y = y j }∀ i ∈ I,∀ j ∈ J
ou p ij = p i. × p . j avec les notations du paragraphe précédent. En effet :
E(XY) =
i
j
p ij x i y j =
i
p i. x i
j
p . j y j = E (X) E (Y )
et alors :