Exemple 2.11
Lancer de pièce :
X =
0 (pile) 1/2
1 (face) 1/2
On avait calculé E(X) = 1/2, d'où :
V (X) =
1
2
0 −
1
2
2
+
1
2
1 −
1
2
2
=
1
8
+
1
8
=
1
4
Exemple 2.12
Pour la v.a. indicatrice :
V (X) = E(X − p)
2 = p(1 − p)
2 + (1 − p)(0 − p)
2
= p(1 − p)(1 − p + p) = p(1 − p)
Exemple 2.13
Pour la loi uniforme sur X (() ={x 1 ,...,x k } nous avions obtenu
E(X) = x , d'où :
V (X) =
k
i=1
p i (x i − x)
2 =
1
k
k
i=1
(x i − x)
2
et la variance se confond ici avec la variance empirique des valeurs possibles de X.
Cet indicateur de dispersion vient compléter l'information sur la distribution,
fournie par la valeur moyenne.
Exemple 2.14
Considérons les deux distributions suivantes :
44 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
X
2
4
6
1/4
1/4
1/2
Y
– 4
3
33
1/2
1/3
1/6
Elles ont comme valeurs moyennes :
E(X) =
1
2
+ 1 + 3 = 4,5e tE(Y ) =−2 + 1 +
33
6
= 4,5
donc même centre de distribution. Par contre :
E(X
2 ) = 1 + 4 + 18 = 23 et E(Y
2 ) = 8 + 3 + 121 ×
3
2
=
385
2
d'où V (X) = 11/4 et V (Y ) = 689/4 , valeur très supérieure qui indique
une dispersion de Y autour de sa moyenne beaucoup plus grande que
celle de X.