Remarques
L'espérance d'une constante réelle a est égale à la valeur de cette constante : E (a) = a.
Si g est une fonction continue quelconque, alors :
E [g (X)] =
i∈N
p i g (x i )
2) Variance
Il s'agit d'un indicateur mesurant la dispersion des valeurs x i que peut prendre la
v.a. X, autour de la moyenne en probabilité E(X) et défini par :
V (X) =
i∈N
p i [x i − E(X)]
2
lorsque cette quantité existe.
C'est l'espérance mathématique du carré de la v.a. centrée X − E(X) :
V (X) = E [X − E(X)]
2
moment centré d'ordre deux. On note cette quantité V (X) = σ
2
X ,σ X désignant
alors l'écart type (standard deviation) de X qui s'exprime dans les mêmes unités
de mesure que la variable.
Variable aléatoire 43
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. p ij = P (X,Y ) (X = x i ,Y = y j ), i ∈ I, j ∈ J
Les deux autres espérances se calculent par rapport aux lois marginales de
X et Y qui s'obtiennent par sommations de la loi du couple :
p i. =
j
p ij = P X (X = x i )
p . j =
i
p ij = P Y (Y = y j )
On calcule alors :
E(X + Y ) =
i, j
p ij (x i + y j ) =
i, j
p ij x i +
i, j
p ij y j
=
i
x i
j
p ij +
j
y j
i
p ij =
i
p i. x i +
j
p . j y j
On peut résumer ces trois propriétés en disant que l'opérateur espérance
mathématique est linéaire :
E(λX + µY ) = λE(X) + µE(Y ), ∀λ ∈ R,∀µ ∈ R