À l'origine des probabilités, la quantité E(X) a été introduite pour traduire
la notion de gain moyen, ou espérance de gain, la v.a. X représentant la valeur
du gain à un certain jeu.
Exemple 2.10
Deux joueurs A et B jouent avec un dé, le joueur B gagnant les mises si
le résultat est supérieur ou égal à trois ; sinon, c'est A qui gagne. La question est de savoir quelles doivent être les mises respectives a et b de ces
deux joueurs pour que le jeu soit équitable.
Les gains respectifs de ces deux joueurs sont représentés par les v.a. :
X A =
a + b 2/6
04 /6
X B =
a + b 4/6
02 /6
soit les espérances de gain E(X A ) = (a + b)/3 et E(X B ) = 2(a + b)/3 .
Le jeu est considéré comme équitable si la mise est égale à l'espérance de
gain, ce qui conduit aux conditions (a + b)/3 = a et 2(a + b)/3 = b
d'où b = 2a,résultat intuitivement évident puisque le joueur B a deux fois
plus de chances de gagner.
42 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Propriétés
Les propriétés de l'opérateur espérance mathématique sont celles du signe
somme.
P 1 Si on ajoute une constante à une v.a., il en est de même pour son espérance :
E(X + a) = E(X) + a, a ∈ R
résultat qui se déduit de :
i
p i (x i + a) =
i
p i x i + a
P 2 Si on multiplie une v.a. par une constante, il en est de même pour son
espérance :
E(aX) = aE(X), a ∈ R
il suffit d'écrire :
i
p i ax i = a
i
p i x i
P 3 L'espérance d'une somme de deux v.a. est la somme des espérances
(bien sûr si elles existent) :
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
La première espérance fait intervenir deux v.a. distinctes et se calcule donc
par rapport à la loi du couple (X,Y ) qui est définie par les probabilités: