Il s'agit d'une moyenne en probabilité, ou moyenne pondérée, des valeurs x i
que peut prendre la v.a. X, par les probabilités correspondantes p i . Chaque probabilité p i peut aussi s'interpréter comme la masse ponctuelle du point ω i d'abscisse x i et E (X) est alors le centre de gravité, ou barycentre, de ces points
affectés de masses. C'est une valeur numérique constante qui est la valeur
moyenne, en probabilité, de X. Notons que si X prend ses valeurs entre x 1 et x n ,
on aura bien sûr x 1 E(X) x n .
Si X ne prend qu'un nombre fini de valeurs, le calcul de E(X) peut se faire
à l'aide du tableau de la distribution comme ci-après:
Variable aléatoire 41
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x i
p i
p i x i
1
E(X)
Exemple 2.6
Si X est la v.a. qui code 0 le résultat pile et 1 le résultat face d'un lancer
de pièce de monnaie :
E(X) = 0 × P X (X = 0) + 1 × P X (X = 1) = 0 ×
1
2
+ 1 ×
1
2
=
1
2
la valeur moyenne en probabilité de X est 1/2, bien que X ne prenne
jamais cette valeur.
Exemple 2.7
Pour une v.a. indicatrice :
E(X) = 0 × P X (X = 0) + 1 × P X (X = 1) = P(A) = p
Exemple 2.8
Pour le jet de dé :
E(X) =
1
6
6
i=1
i =
7
2
= 3,5
Exemple 2.9
Dans le cas de la loi uniforme sur X (() = {x 1 ,...,x k } , c'est-à-dire avec
équiprobabilité de toutes les valeurs p i = 1/k , on obtient :
E(X) =
1
k
k
i=1
x i
et dans ce cas E(X) se confond avec la moyenne arithmétique simple x
des valeurs possibles de X (cependant la notation x pour l'espérance est
à proscrire en général car ce n'est que dans ce cas particulier que
E(X) = x).