Remarque
Si A = P(() , toute application X sera une v.a. puisque X
−1 (x) ∈ P(()
pour tout x réel.
B. Loi de probabilité
La propriété résultant de la définition d'une v.a. va nous permettre de définir la
probabilité de chacune de ses valeurs possibles x ∈ X (() par :
P X (X = x) = P
X
−1 (x)
= P {ω ∈ / X (ω) = x}
Exemple 2.1
Si on associe la valeur 1 au résultat impair d'un jet de dé :
X
−1 (1) ={1,3,5} , la probabilité de la valeur 1 sera P({1,3,5}) = 1/6
+1/6 + 1/6 = 1/2.
Cette nouvelle probabilité, définie cette fois sur
′ = X (() et notée P X , s'appelle la probabilité image de P par X . La relation précédente peut s'écrire schématiquement P X (x) = (P ◦ X
−1 )(x) . Nous allons vérifier que P X est bien une
probabilité définie sur
′ . Tout d'abord, l'ensemble d'arrivée de cette application
est celui de P, donc [0,1] . D'autre part :
P X ((
′ ) = P
X
−1 ((
′ )
= P(() = 1;
enfin, si A n ⊂
′ ,avec A m ∩ A n =∅ pour m = / n :
P X
∞
n=0
A n
= P
X
−1
∞
n=0
A n
= P
∞
n=0
X
−1 (A n )
=
∞
n=0
P
X
−1 (A n )
=
∞
n=0
P X (A n )
Très souvent dans la suite, par souci de simplification mais par abus de notation, nous noterons P les probabilités images P X .
L'ensemble
′ = X (() étant dénombrable, il existe une bijection permettant de représenter ses éléments par l'ensemble des x i ,i ∈ N . La loi de probabilité P X de X est alors définie par les probabilités individuelles :
p i = P X (X = x i ) = P
X
−1 (x i )
, i ∈ N
On appelle alors distribution ou loi de probabilité de la v.a. X l'ensemble des
couples (x i , p i ) i∈N . Si X ne prend qu'un petit nombre de valeurs, cette distribution est généralement présentée dans un tableau.
Variable aléatoire 37
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