I. Variable aléatoire réelle discrète
A. Définition
On appelle v.a. discrète définie sur ((,A) une application X : → R telle que
X (() est dénombrable (en général X (() est fini ou X (() ⊂ N ou X (() ⊂ Z
et dans tous les cas X () est en correspondance bijective avec N ) et telle que
pour tout x réel :
X
−1 (x) = {ω ∈ / X (ω) = x} ∈ A
ce qui exprime tout simplement que X
−1 (x) est un événement.
36 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
étant supposés indiscernables, on définit une probabilité P par
P({a}) = 1/4,P({b}) = 1/2 et P({c,d}) = 1/4. On définit alors une
application X : → R par X (a) = X (d) = 1 et X (b) = X (c) = 0. La
probabilité que X prenne la valeur 0 est la probabilité de {b,c} qui n'est
pas un élément de A, donc n'est pas un événement, et par conséquent
on ne peut pas calculer cette probabilité. Cette application n'est donc pas
une v.a.
Pour la facilité de l'exposé, il sera utile de distinguer le cas où X (() est
dénombrable, la v.a. X étant alors dite discrète, de celui où X (() est un
ensemble non dénombrable de R (généralement un intervalle, pouvant
être R tout entier, ou une réunion d'intervalles), la v.a. étant dite continue. La loi de probabilité d'une v.a., qui peut toujours être définie par sa
fonction de répartition, le sera plutôt par les probabilités individuelles
dans le cas discret et par la densité dans le cas continu. Nous définirons
les deux caractéristiques numériques principales d'une distribution, l'espérance, caractéristique de valeur centrale, et la variance, caractéristique
de dispersion.
Objectif du chapitre : retenir que dans les cas usuels la loi d'une variable
aléatoire est déterminée par les probabilités des points dans le
cas discret, par la densité dans le cas continu, et que cette loi est
souvent caractérisée par les deux premiers moments qui sont
l'espérance, caractéristique de valeur centrale, et la variance,
caractéristique de dispersion autour de cette valeur centrale.
Concepts clés étudiés : variable aléatoire, fonction de répartition, densité
de probabilité, espérance mathématique, variance, écart type.
A. Définition
On appelle v.a. discrète définie sur ((,A) une application X : → R telle que
X (() est dénombrable (en général X (() est fini ou X (() ⊂ N ou X (() ⊂ Z
et dans tous les cas X () est en correspondance bijective avec N ) et telle que
pour tout x réel :
X
−1 (x) = {ω ∈ / X (ω) = x} ∈ A
ce qui exprime tout simplement que X
−1 (x) est un événement.
36 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
étant supposés indiscernables, on définit une probabilité P par
P({a}) = 1/4,P({b}) = 1/2 et P({c,d}) = 1/4. On définit alors une
application X : → R par X (a) = X (d) = 1 et X (b) = X (c) = 0. La
probabilité que X prenne la valeur 0 est la probabilité de {b,c} qui n'est
pas un élément de A, donc n'est pas un événement, et par conséquent
on ne peut pas calculer cette probabilité. Cette application n'est donc pas
une v.a.
Pour la facilité de l'exposé, il sera utile de distinguer le cas où X (() est
dénombrable, la v.a. X étant alors dite discrète, de celui où X (() est un
ensemble non dénombrable de R (généralement un intervalle, pouvant
être R tout entier, ou une réunion d'intervalles), la v.a. étant dite continue. La loi de probabilité d'une v.a., qui peut toujours être définie par sa
fonction de répartition, le sera plutôt par les probabilités individuelles
dans le cas discret et par la densité dans le cas continu. Nous définirons
les deux caractéristiques numériques principales d'une distribution, l'espérance, caractéristique de valeur centrale, et la variance, caractéristique
de dispersion.
Objectif du chapitre : retenir que dans les cas usuels la loi d'une variable
aléatoire est déterminée par les probabilités des points dans le
cas discret, par la densité dans le cas continu, et que cette loi est
souvent caractérisée par les deux premiers moments qui sont
l'espérance, caractéristique de valeur centrale, et la variance,
caractéristique de dispersion autour de cette valeur centrale.
Concepts clés étudiés : variable aléatoire, fonction de répartition, densité
de probabilité, espérance mathématique, variance, écart type.