© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
2. Vari able aléatoire
L
e besoin de calculs, comme par exemple celui de la moyenne associée aux différents résultats possibles d’une épreuve aléatoire,
impose que ce résultat, symbolisé ou non par un nombre, soit mis
sous forme numérique. C'est pourquoi on souhaitera presque toujours
traduire par une valeur numérique l'événement réalisé. Pour un lancer
de pièce de monnaie, on peut retenir par exemple comme codage des
résultats : pile → 0, face → 1. Pour un lancer de dé, il y a un codage
naturel puisque le résultat a ici un caractère numérique :
face 1 → 1, ..., face 6 → 6 ; mais on peut bien sûr envisager d'autres
codages, comme par exemple noter par zéro tout résultat pair et par un
tout résultat impair, d'où les nouvelles associations : face 1 → 1,
face 2 → 0, ..., face 6 → 0.
Bien entendu la valeur numérique associée à un résultat est arbitraire et
correspond à un codage des événements qui va se faire au moyen d'une
certaine application, notée usuellement X , qui va associer un nombre à
chaque événement élémentaire, soit :
X : → R
Le résultat ω ayant un caractère aléatoire, la valeur numérique X (ω)
associée a aussi un caractère aléatoire. Il serait donc intéressant de pouvoir calculer la probabilité que X prenne une certaine valeur ou appartienne à un certain intervalle. Pour pouvoir définir cette probabilité sur
l'ensemble image
′ = X (() ⊂ R , il faut pouvoir revenir en arrière sur
l'ensemble de départ puisque la probabilité est définie sur ((,A). Il va
donc falloir imposer une certaine condition à cette application qui sera
alors appelée variable aléatoire (v.a., random variable) si elle est réalisée.
Cette terminologie est d'ailleurs assez maladroite puisque cette variable
est en l'occurrence une fonction !
Considérons l'exemple suivant où l'ensemble fondamental est
={a,b,c,d}. La partition = {{a},{b},{c,d}} engendre l'algèbre
A = {∅,{a},{b},{c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},,} . Les événements c et d
Variable aléatoire 35
2. Vari able aléatoire
L
e besoin de calculs, comme par exemple celui de la moyenne associée aux différents résultats possibles d’une épreuve aléatoire,
impose que ce résultat, symbolisé ou non par un nombre, soit mis
sous forme numérique. C'est pourquoi on souhaitera presque toujours
traduire par une valeur numérique l'événement réalisé. Pour un lancer
de pièce de monnaie, on peut retenir par exemple comme codage des
résultats : pile → 0, face → 1. Pour un lancer de dé, il y a un codage
naturel puisque le résultat a ici un caractère numérique :
face 1 → 1, ..., face 6 → 6 ; mais on peut bien sûr envisager d'autres
codages, comme par exemple noter par zéro tout résultat pair et par un
tout résultat impair, d'où les nouvelles associations : face 1 → 1,
face 2 → 0, ..., face 6 → 0.
Bien entendu la valeur numérique associée à un résultat est arbitraire et
correspond à un codage des événements qui va se faire au moyen d'une
certaine application, notée usuellement X , qui va associer un nombre à
chaque événement élémentaire, soit :
X : → R
Le résultat ω ayant un caractère aléatoire, la valeur numérique X (ω)
associée a aussi un caractère aléatoire. Il serait donc intéressant de pouvoir calculer la probabilité que X prenne une certaine valeur ou appartienne à un certain intervalle. Pour pouvoir définir cette probabilité sur
l'ensemble image
′ = X (() ⊂ R , il faut pouvoir revenir en arrière sur
l'ensemble de départ puisque la probabilité est définie sur ((,A). Il va
donc falloir imposer une certaine condition à cette application qui sera
alors appelée variable aléatoire (v.a., random variable) si elle est réalisée.
Cette terminologie est d'ailleurs assez maladroite puisque cette variable
est en l'occurrence une fonction !
Considérons l'exemple suivant où l'ensemble fondamental est
={a,b,c,d}. La partition = {{a},{b},{c,d}} engendre l'algèbre
A = {∅,{a},{b},{c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},,} . Les événements c et d
Variable aléatoire 35