On peut écrire :
P {(A ∪ B) ∩ C} = P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
= P(A ∩ C) + P(B ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
= [P(A) + P(B)] P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
= P(A ∪ B)P(C) + P(A ∩ B)P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
donc pour qu’il y ait indépendance de C avec A ∪ B il faudrait que
P(A)P(B)P(C) = P(A ∩ B ∩ C) ,c ’est-à-dire que A, B et C soient mutuellement
indépendants, ce qui n’est pas le cas en général. Dans l’exercice précédent on a d’ailleurs
P(A ∪ B) = P({a, b, c}) = 3/4 avec P {(A ∪ B) ∩ C} = P({a}) = 1/4 = P(A ∪ B)
P(C) = 3/8 ce qui montre que A ∪ B n’est pas indépendant de C. De même, d’après ce
qui précède, pour que C soit indépendant de A ∩ B, il faut que C soit aussi indépendant
de A ∩ B, ce qui n’est pas le cas en général comme le montre également l’exercice précédent puisque P(A ∩ B) = 1/4 et P(C) = 1/2 avec P(A ∩ B ∩ C) = 1/4
= P(A ∩ B)P(C) .
Exercice n°17
On obtient P(A ∩ B) = P({FPP,PPP}) = 1/4 = P(A)P(B) , P(B ∩ C) = P({FFP,
PPP}) = 1/4 = P(B)P(C) et P(A ∩ C) = P({PPP}) = 1/8 = P(A)P(C) donc ces
événements ne sont pas indépendants deux à deux et a fortiori ne sont pas mutuellement
indépendants, bien qu’ici P(A ∩ B ∩ C) = P({PPP}) = 1/8 = P(A)P(B)P(C) .
Exercice n°18
Notons par A i l’événement « le danseur i se retrouve avec sa femme ». L’événement « il
y a au moins une rencontre » est donc ∪
n
i=1 A i . Sa probabilité s’obtient à partir de la formule de Poincaré (cf. I, C) pour n événements :
p n = P
n
i=1
A i
=
n
k=1
( – 1)
k+1
{i 1 , ..., i k }⊂{1, ..., n}
P(A i 1 ∩ ...∩ A i k )
Si chaque danseur est représenté par une case numérotée de 1 à n,l ’événement
A i 1 ∩ ...∩ A i k correspond à une permutation où les femmes de ces danseurs sont placées dans les cases i 1 , ..., i k . Comme toutes les permutations sont équiprobables :
P(A i 1 ∩ ...∩ A i k ) =
(n – k)!
n!
Par ailleurs, le nombre de sous-ensembles {i 1 ,...,i k } extraits de {1,...,n} est égal à
(
n
k
), donc :
{i 1 , ..., i k }⊂{1, ..., n}
P
A i 1 ∩ ...∩ A i k
=
n
k
(n – k)!
n!
=
1
k!
et :
p n =
n
k=1
( – 1)
k+1
k!
.
32 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS