On en déduit :
p 1 = P(V 1 V 2 ) = P(V 1 )P(V 2 |V 1 ) =
1
2
puis p 2 = p 3 = 1/6 et donc p 4 = 1/6 .
On peut alors calculer :
P(R 2 |R 1 ) =
P(R 1 R 2 )
P(R 1 )
=
1
2
Exercice n°14
1) Si on note R l’événement « réussir son service », on obtient :
p B = P(B|R) =
P(B ∩ R)
P(R)
=
2 × 0,6
0,9 + 2 × 0,6
=
4
7
2) On obtient cette fois :
p B =
2 p
0,9 + 2 p
avec p B = 1/2 pour p = 0,45.
3) Si les joueurs ont le même taux de réussite :
p B =
2 p
p + 2 p
=
2
3
= P(B)
Exercice n°15
En raison de l’équiprobabilité :
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 et P(A ∩ B) = P({a})= 1/4 = P(A)P(B),
P(A ∩ C) = P({a}) = 1/4 = P(A)P(C) et P(B ∩ C) = P({a}) = 1/4 = P(B)P(C)
donc les événements A, B et C sont indépendants deux à deux. Par contre :
P(A ∩ B ∩ C) = P({a}) =
1
4
= P(A)P(B)P(C)
et ils ne sont pas mutuellement indépendants.
Exercice n°16
On obtient :
P(A ∩ B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A) – P(A)P(B)
= P(A)[1 – P(B)] = P(A)P(B)
donc les événements A et B sont indépendants. De même :
P(A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) = P(B) – P(A)P(B)
= P(B) [1 – P(A)] = P(A)P(B)
donc A et B sont aussi indépendants.
Notion de probabilité 31
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