Exercice n°10
Soit N i , 1 i 5 , le nombre de jets nécessaires pour obtenir un as avec le dé i. Le
poker d’as est obtenu en moins de trois coups si max{N i /1 i 5} 3, événement qui
est équivalent à :
5
i=1
{N i 3}
Tous ces événements sont indépendants et ont la même probabilité :
P(N i 3) =
3
k=1
P(N i = k) =
3
k=1
5
6
k – 1 1
6
= 1 –
5
6
3
La probabilité demandée est donc :
1 −
5
6
3
5
= 0,013
Exercice n°11
Pour qu’une faute ne soit pas corrigée il faut qu’elle ait subsisté à chaque relecture, ce
qui se produit avec une probabilité (2/3)
n ; pour chaque faute la probabilité d’être corrigée est donc 1 – (2/3)
n et la probabilité de correction des quatre erreurs est par conséquent :
p n =
1 –
2
3
n 4
Bien sûr p n tend vers un quand n devient infini, avec p 4 = 0,41 ; p 6 = 0,69 ; p 8 = 0,85
et p 10 = 0,93.
Exercice n°12
Il suffit d’appliquer la formule de Bayes :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)
=
p
p + (1 – p)/5
=
5 p
4 p + 1
On peut noter que P (A|B) P (A) = p, avec bien sûr P (A|B) = 0 si p = 0 et
P (A|B) = 1 si p = 1. Dans tous les autres cas P (A|B) > P (A).
Exercice n°13
L’ensemble fondamental est constitué des couples ordonnés dont les éléments symbolisent la couleur des premier et second feux :
={V 1 V 2 ,V 1 R 2 ,R 1 V 2 ,R 1 R 2 }
Nous noterons :
p 1 = P(V 1 V 2 ) p 2 = P(V 1 R 2 ) p 3 = P(R 1 V 2 ) p 4 = P(R 1 R 2 )
Les hypothèses se traduisent par :
P(V 1 ) = p 1 + p 2 = P(V 2 ) = p 1 + p 3 = 2/3
P(V 2 |V 1 ) = 3/4
30 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS