La somme de ces probabilités n'est pas égale à 1 car les joueurs peuvent marquer 2 points
chacun et être ex-aequo :
P (EX) =
4
2
1
3
2
2
3
2
=
8
27
Exercice n°6
Effectuer n tirages correspond à l’événement, noté B n , « obtenir une boule blanche au
n-ème tirage et des boules noires à tous les tirages précédents ». Nous obtenons ainsi :
P(B 1 ) =
1
2
P(B 2 ) =
1
2
×
1
3
...
P(B n ) =
1
2
×
2
3
× ...×
n – 1
n
×
1
n + 1
=
1
n(n + 1)
Exercice n°7
En notant T
+ « le test est positif » et A « le patient est atteint », les hypothèses se traduisent par P(T
+ |A) = 0,99 et P(T
+ |A) = 0,01 . La probabilité demandée est :
P(A|T
+ ) =
P(A ∩ T
+ )
P(T + )
=
0,96 × 0,01
0,04 × 0,99 + 0,96 × 0,01
=
8
41
Exercice n°8
On note C l’événement « les gants sont rangés dans la commode »,4 « ils sont dans le
tiroir 4 » et 3 « ils ne sont pas dans les 3 premiers tiroirs ». La probabilité cherchée s’écrit
P(4|3) et se calcule par la formule de Bayes. Comme P(3|C) = 1/4 et P(3|C) = 1 on
obtient :
P(4|3) =
P(4 ∩ 3)
P(3)
=
P(4)
P(3)
=
p/4
p/4 + 1 − p
=
p
4 − 3 p
Exercice n°9
1) L’ensemble fondamental associé à ces deux tirages indépendants est ={B,N }
2 .
Il y a 3 compositions possibles de cette urne avec P(BB) = P(NN) = 1/4 et
P(BN) = 2/4.
2) On utilise la formule de Bayes pour calculer p 1 = P(BB|B 1 ),a v e c P(B 1 |BB) = 1,
P(B 1 |NN) = 0 et P(B 1 |NB) = 1/2 ; ainsi p 1 = 1/2 . On obtient de la même façon
p 2 = 2/3 puis pour n 2 :
p n =
P(BB)
P(BB) + P(B 1 ...B n |BN)/2
=
1
1 + 1/2 n−1
Quand n devient infini p n → 1,r ésultat prévisible car si on ne tire que des boules
blanches, c’est sans doute qu’il n’y a pas de boule d’une autre couleur dans l’urne.
Notion de probabilité 29
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