Exercice n°2
Si on note A 1 ={a} et A 2 ={b} , les deux ensembles considérés s’écrivent
A i =
∅, A i , A i ,,
, avec i = 1, 2, et sont donc des tribus sur . L’ensemble
A 1 ∩ A 2 = {∅,,} est la tribu grossière et A 1 ∪ A 2 = {∅, {a}, {b}, {a, c}, {b, c},,}
n’est pas une tribu car {a, c}∩{b, c}={c} /
∈ A 1 ∪ A 2 .
Exercice n°3
La famille A est non vide puisqu’elle contient par exemple les ensembles A n . Par définition, elle est fermée pour le passage au complémentaire. Si deux éléments A et B de
la famille sont finis alors A ∪ B l’est aussi ; si l’un des deux n’est pas fini alors A ∪ B
n’est pas fini mais son complémentaire l’est, comme intersection de deux ensembles dont
l’un est fini. Ainsi dans les deux cas A ∪ B appartient à A qui est aussi fermée pour
l’union donc est une algèbre.
Mais l’union dénombrable ∪ n∈N A n = 2N est l’ensemble des entiers pairs qui n’est pas
fini. Son complémentaire est l’ensemble des entiers impairs, qui n’est pas fini non plus,
et donc cet ensemble n’appartient pas à la famille A. Il n’y a pas fermeture pour l’union
dénombrable donc cette algèbre n’est pas une σ-algèbre.
Exercice n°4
1) L'ensemble fondamental est constitué de tous les événements élémentaires possibles,
écrits sous la forme de couples dont la première lettre désigne la couleur de la première
boule tirée et la seconde la couleur de la boule extraite ensuite. Si la première boule tirée
est blanche, l'urne ne contient plus que des boules noires et le seul événement possible
est donc représenté par le couple ordonné (BN) . Si la première boule tirée est noire, la
composition de l'urne est {B,B,N } et il y a alors deux événements possibles, (NB) et
(NN) . On a donc :
= {(BN) ,(NB) ,(NN)}
2) L'ensemble A est un ensemble non vide de parties de qui peut s'écrire
A =
∅,A,A,,
en ayant posé A = (NN) . Il est facile de voir qu'il est fermé pour
l'union et le passage au complémentaire, donc est une algèbre. Comme A comporte un
nombre fini d'éléments cette algèbre est aussi une σ-algèbre, ou tribu.
3) D'après la question 1 :
P (BN) =
1
3
× 1 P (NB) =
2
3
×
2
3
P (NN) =
2
3
×
1
3
Exercice n°5
Si on note A l'événement « le joueur A a marqué un point », l'ensemble fondamental est :
=
A,A
4
Il n'y a pas équiprobabilité ici car P (A) =
2
6
et P
A
=
4
6
. Pour que le joueur A gagne,
il faut qu'il marque 3 ou 4 points et il en est de même pour le joueur B. Les probabilités
de gain de chaque joueur sont donc :
P (AG) = 4
1
3
3 2
3
+
1
3
4
=
1
9
P (BG) = 4
2
3
3 1
3
+
2
3
4
=
16
27
28 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS