© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Notion de probabilité 27
Exercice n°14
Deux joueurs de tennis s’entraînent au service, le joueur A servant une fois sur trois et le
joueur B deux fois sur trois. Leurs pourcentages de réussite au service sont respectivement de 90 % et de 60 %.
1) Si vous assistez à un service réussi au cours de cet entraînement, quelle est la probabilité p B qu’il s’agisse du joueur B ?
2) Calculer cette probabilité p B en fonction du pourcentage p de réussite du joueur B.
Pour quelle valeur de p B cette probabilité est-elle égale à 1/2 ?
3) Que vaut p B dans le cas où les joueurs A et B ont le même pourcentage de réussite au
service ? Le résultat était-il prévisible ?
Exercice n°15
Soit ={a, b, c, d} avec équiprobabilité des événements élémentaires sur P((). Les
événements A ={a, b},B ={a, c} et C ={a, d} sont-ils indépendants ?
Exercice n°16
Les événements A et B étant indépendants, montrer que les événements A et B ainsi que
A et B sont aussi indépendants. Si l’événement C est indépendant de A et de B , est-il
aussi indépendant de A ∪ B ? L’événement C est-il indépendant de A ∩ B ?
Exercice n°17
On effectue trois lancers successifs d’une pièce de monnaie. Les événements
A ={FFF, PFF, FPP, PPP}, B ={FFP, FPP, PPF, PPP} et C ={FFP,
FPF, PFP, PPP} sont-ils indépendants ?
Exercice n°18
Problème de rencontres. Lors d’un bal auquel participent n couples, le choix de sa cavalière pour la première danse se fait au hasard. La probabilité de danser avec sa femme est
donc 1/n, valeur faible si n est grand. Cependant, on demande de montrer que la probabilité qu’il y ait au moins une rencontre entre un danseur et sa femme est supérieure à la
probabilité qu’il n’y en ait pas.
Exercice n°19
Avant le tirage au sort des quarts de finale de la Ligue des Champions de football il reste
4 équipes anglaises. Calculer la probabilité p qu'il y ait au moins un quart de finale qui
oppose 2 équipes anglaises.
Corrigés
Exercice n°1
On choisit comme ensemble fondamental = {0, 1}
3 ,c ’est-à-dire l’ensemble des triplets ordonnés, bien que l’ordre soit sans importance, car cela permet d’obtenir des événements élémentaires équiprobables et facilite donc le calcul ultérieur des probabilités.
Les événements indiqués s’écrivent alors : A ={0}×{0, 1}
2 , B ={0, 1}
2 ×{1},
C ={0}×{0, 1}×{0}={(000), (010)} , D ={(111)} , E ={(001), (010), (100)} ,
F ={(111), (110), (101), (011)}.
Notion de probabilité 27
Exercice n°14
Deux joueurs de tennis s’entraînent au service, le joueur A servant une fois sur trois et le
joueur B deux fois sur trois. Leurs pourcentages de réussite au service sont respectivement de 90 % et de 60 %.
1) Si vous assistez à un service réussi au cours de cet entraînement, quelle est la probabilité p B qu’il s’agisse du joueur B ?
2) Calculer cette probabilité p B en fonction du pourcentage p de réussite du joueur B.
Pour quelle valeur de p B cette probabilité est-elle égale à 1/2 ?
3) Que vaut p B dans le cas où les joueurs A et B ont le même pourcentage de réussite au
service ? Le résultat était-il prévisible ?
Exercice n°15
Soit ={a, b, c, d} avec équiprobabilité des événements élémentaires sur P((). Les
événements A ={a, b},B ={a, c} et C ={a, d} sont-ils indépendants ?
Exercice n°16
Les événements A et B étant indépendants, montrer que les événements A et B ainsi que
A et B sont aussi indépendants. Si l’événement C est indépendant de A et de B , est-il
aussi indépendant de A ∪ B ? L’événement C est-il indépendant de A ∩ B ?
Exercice n°17
On effectue trois lancers successifs d’une pièce de monnaie. Les événements
A ={FFF, PFF, FPP, PPP}, B ={FFP, FPP, PPF, PPP} et C ={FFP,
FPF, PFP, PPP} sont-ils indépendants ?
Exercice n°18
Problème de rencontres. Lors d’un bal auquel participent n couples, le choix de sa cavalière pour la première danse se fait au hasard. La probabilité de danser avec sa femme est
donc 1/n, valeur faible si n est grand. Cependant, on demande de montrer que la probabilité qu’il y ait au moins une rencontre entre un danseur et sa femme est supérieure à la
probabilité qu’il n’y en ait pas.
Exercice n°19
Avant le tirage au sort des quarts de finale de la Ligue des Champions de football il reste
4 équipes anglaises. Calculer la probabilité p qu'il y ait au moins un quart de finale qui
oppose 2 équipes anglaises.
Corrigés
Exercice n°1
On choisit comme ensemble fondamental = {0, 1}
3 ,c ’est-à-dire l’ensemble des triplets ordonnés, bien que l’ordre soit sans importance, car cela permet d’obtenir des événements élémentaires équiprobables et facilite donc le calcul ultérieur des probabilités.
Les événements indiqués s’écrivent alors : A ={0}×{0, 1}
2 , B ={0, 1}
2 ×{1},
C ={0}×{0, 1}×{0}={(000), (010)} , D ={(111)} , E ={(001), (010), (100)} ,
F ={(111), (110), (101), (011)}.