26 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Exercice n°7
Un laboratoire a mis au point un test rapide de dépistage du VIH (responsable du SIDA)
mais qui n’est pas totalement fiable. Il est positif avec une probabilité de 0,99 si le patient
est effectivement atteint et avec une probabilité de 0,01 si le patient n’est pas atteint. On
tire au hasard un individu dans une population où 4% sont porteurs du VIH. Calculer la
probabilité qu’il ne soit pas atteint sachant que le test a été positif.
Exercice n°8
Le professeur Tournesol cherche ses gants qu’il pense avoir rangés avec une probabilité
p dans sa commode. Si c’est le cas, il les a mis au hasard dans l’un des 4 tiroirs. Sachant
qu’il ne les a pas trouvés dans les 3 premiers, calculer la probabilité qu’ils soient dans le
quatrième.
Exercice n°9
On effectue deux tirages successifs avec remise dans une première urne qui contient
autant de boules noires que de boules blanches. On place ensuite dans une seconde urne
vide deux boules de la même couleur que celles qui ont été tirées.
1) Indiquer les différentes compositions possibles de cette urne et la probabilité associée.
2) On effectue ensuite des tirages successifs avec remise dans cette seconde urne. On
note p n la probabilité que cette urne contienne deux boules blanches, sachant que l’on n’a
obtenu que des boules blanches au cours des n premiers tirages. Calculer p 1 , p 2 , puis p n
pour n 2 et ensuite la limite de p n quand n devient infini. Cette limite était-elle prévisible ?
Exercice n°10
On jette ensemble cinq dés identiques et à chaque coup on enlève les as (chiffre 1) qui
sont sortis avant de relancer les autres dés. Quelle est la probabilité d’obtenir un poker
d’as, c’est-à-dire cinq as, en trois coups au plus ?
Exercice n°11
Un document contient quatre erreurs et à chaque relecture la probabilité de détection
d’une erreur ayant subsisté est de 1/3. Quelle est la probabilité p n qu’il ne subsiste aucune
faute après n relectures, n ∈ N
∗ ?
Exercice n°12
Un étudiant doit répondre à un questionnaire à choix multiple où cinq réponses sont proposées à une question, une seule étant correcte. Quand l’événement A = « l’étudiant a
bien travaillé dans l’année » est réalisé, la réponse est fournie avec exactitude. Dans le
cas contraire, l’étudiant répond au hasard. Si l’événement B =« il a fourni la réponse
correcte » est réalisé, calculer la probabilité P(A|B) en fonction de p = P(A) .
Exercice n°13
Dans la rue principale de Champignac, chacun des deux feux de circulation successifs est
vert les deux tiers du temps. Si vous roulez à la vitesse réglementaire de 50 km/h, après
avoir franchi le premier feu au vert, vous trouverez le second au vert trois fois sur quatre.
Si vous grillez le premier feu au rouge, calculez la probabilité que le second soit aussi au
rouge si vous roulez toujours à la vitesse réglementaire de 50 km/h, en précisant l’ensemble fondamental retenu pour ce problème.
Exercice n°7
Un laboratoire a mis au point un test rapide de dépistage du VIH (responsable du SIDA)
mais qui n’est pas totalement fiable. Il est positif avec une probabilité de 0,99 si le patient
est effectivement atteint et avec une probabilité de 0,01 si le patient n’est pas atteint. On
tire au hasard un individu dans une population où 4% sont porteurs du VIH. Calculer la
probabilité qu’il ne soit pas atteint sachant que le test a été positif.
Exercice n°8
Le professeur Tournesol cherche ses gants qu’il pense avoir rangés avec une probabilité
p dans sa commode. Si c’est le cas, il les a mis au hasard dans l’un des 4 tiroirs. Sachant
qu’il ne les a pas trouvés dans les 3 premiers, calculer la probabilité qu’ils soient dans le
quatrième.
Exercice n°9
On effectue deux tirages successifs avec remise dans une première urne qui contient
autant de boules noires que de boules blanches. On place ensuite dans une seconde urne
vide deux boules de la même couleur que celles qui ont été tirées.
1) Indiquer les différentes compositions possibles de cette urne et la probabilité associée.
2) On effectue ensuite des tirages successifs avec remise dans cette seconde urne. On
note p n la probabilité que cette urne contienne deux boules blanches, sachant que l’on n’a
obtenu que des boules blanches au cours des n premiers tirages. Calculer p 1 , p 2 , puis p n
pour n 2 et ensuite la limite de p n quand n devient infini. Cette limite était-elle prévisible ?
Exercice n°10
On jette ensemble cinq dés identiques et à chaque coup on enlève les as (chiffre 1) qui
sont sortis avant de relancer les autres dés. Quelle est la probabilité d’obtenir un poker
d’as, c’est-à-dire cinq as, en trois coups au plus ?
Exercice n°11
Un document contient quatre erreurs et à chaque relecture la probabilité de détection
d’une erreur ayant subsisté est de 1/3. Quelle est la probabilité p n qu’il ne subsiste aucune
faute après n relectures, n ∈ N
∗ ?
Exercice n°12
Un étudiant doit répondre à un questionnaire à choix multiple où cinq réponses sont proposées à une question, une seule étant correcte. Quand l’événement A = « l’étudiant a
bien travaillé dans l’année » est réalisé, la réponse est fournie avec exactitude. Dans le
cas contraire, l’étudiant répond au hasard. Si l’événement B =« il a fourni la réponse
correcte » est réalisé, calculer la probabilité P(A|B) en fonction de p = P(A) .
Exercice n°13
Dans la rue principale de Champignac, chacun des deux feux de circulation successifs est
vert les deux tiers du temps. Si vous roulez à la vitesse réglementaire de 50 km/h, après
avoir franchi le premier feu au vert, vous trouverez le second au vert trois fois sur quatre.
Si vous grillez le premier feu au rouge, calculez la probabilité que le second soit aussi au
rouge si vous roulez toujours à la vitesse réglementaire de 50 km/h, en précisant l’ensemble fondamental retenu pour ce problème.