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Notion de probabilité 25
Exercices
Énoncés
Exercice n°1
Une machine fabrique des objets qui sont classés en défectueux, codés 0, et non défectueux, codés 1. On prélève toutes les heures les trois derniers objets produits par cette
machine. On demande de préciser l’ensemble fondamental associé à cette expérience et
d’écrire les événements suivants : A = « le premier objet est défectueux » ; B =« le dernier objet est non défectueux » ; C =« les premier et dernier objets sont défectueux » ;
D = « aucun objet n’est défectueux » ; E =« deux objets sont défectueux » ; F =« au
plus un objet est défectueux ».
Exercice n°2
Soit ={a, b, c} et considérons les ensembles A 1 = {∅, {a}, {b, c},,} et
A 2 = {∅, {b}, {a, c},,}. Montrer que ce sont des tribus sur . Les ensembles A 1 ∩ A 2
et A 1 ∪ A 2 sont-ils des tribus sur ?
Exercice n°3
Soit = N et A la famille des parties A de telles que A est fini ou bien A est fini.
Montrer que A est une algèbre mais pas une σ –algèbre. On pourra considérer les
ensembles A n ={2n}, n ∈ N.
Exercice n°4
On effectue deux tirages successifs dans une urne qui contient une boule blanche et deux
boules noires identiques. La première boule tirée n'est pas remise dans l'urne, mais est
remplacée par une boule de l'autre couleur (blanche si on a tiré une noire et vice-versa).
1) Construire l'ensemble fondamental associé à cette expérience aléatoire, en tenant
compte de l'ordre des tirages.
2) Montrer que l'ensemble des parties de défini par :
A = {∅,{(NN)} ,{(BN) ,(NB)} ,,}
est une tribu. La notation (BN) représente par exemple l'événement élémentaire « tirer
une boule blanche, puis une noire » .
3) Déterminer la probabilité de chacun des événements élémentaires constituant .
Exercice n°5
On lance un dé quatre fois de suite et le joueur A marque 1 point si le chiffre obtenu est 1
ou 2 ; sinon c'est le joueur B qui marque un point. Le joueur qui gagne la partie est celui
qui a le plus de points à l'issue de ces quatre lancers. Calculer la probabilité de gain de
chaque joueur, en précisant l'ensemble fondamental retenu pour modéliser ce problème.
Exercice n°6
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On effectue des tirages avec
remise dans cette urne jusqu’à obtenir une boule blanche, ajoutant une boule noire après
chaque tirage d’une boule noire. Calculer la probabilité d’effectuer n tirages, n ∈ N
∗ .
Notion de probabilité 25
Exercices
Énoncés
Exercice n°1
Une machine fabrique des objets qui sont classés en défectueux, codés 0, et non défectueux, codés 1. On prélève toutes les heures les trois derniers objets produits par cette
machine. On demande de préciser l’ensemble fondamental associé à cette expérience et
d’écrire les événements suivants : A = « le premier objet est défectueux » ; B =« le dernier objet est non défectueux » ; C =« les premier et dernier objets sont défectueux » ;
D = « aucun objet n’est défectueux » ; E =« deux objets sont défectueux » ; F =« au
plus un objet est défectueux ».
Exercice n°2
Soit ={a, b, c} et considérons les ensembles A 1 = {∅, {a}, {b, c},,} et
A 2 = {∅, {b}, {a, c},,}. Montrer que ce sont des tribus sur . Les ensembles A 1 ∩ A 2
et A 1 ∪ A 2 sont-ils des tribus sur ?
Exercice n°3
Soit = N et A la famille des parties A de telles que A est fini ou bien A est fini.
Montrer que A est une algèbre mais pas une σ –algèbre. On pourra considérer les
ensembles A n ={2n}, n ∈ N.
Exercice n°4
On effectue deux tirages successifs dans une urne qui contient une boule blanche et deux
boules noires identiques. La première boule tirée n'est pas remise dans l'urne, mais est
remplacée par une boule de l'autre couleur (blanche si on a tiré une noire et vice-versa).
1) Construire l'ensemble fondamental associé à cette expérience aléatoire, en tenant
compte de l'ordre des tirages.
2) Montrer que l'ensemble des parties de défini par :
A = {∅,{(NN)} ,{(BN) ,(NB)} ,,}
est une tribu. La notation (BN) représente par exemple l'événement élémentaire « tirer
une boule blanche, puis une noire » .
3) Déterminer la probabilité de chacun des événements élémentaires constituant .
Exercice n°5
On lance un dé quatre fois de suite et le joueur A marque 1 point si le chiffre obtenu est 1
ou 2 ; sinon c'est le joueur B qui marque un point. Le joueur qui gagne la partie est celui
qui a le plus de points à l'issue de ces quatre lancers. Calculer la probabilité de gain de
chaque joueur, en précisant l'ensemble fondamental retenu pour modéliser ce problème.
Exercice n°6
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On effectue des tirages avec
remise dans cette urne jusqu’à obtenir une boule blanche, ajoutant une boule noire après
chaque tirage d’une boule noire. Calculer la probabilité d’effectuer n tirages, n ∈ N
∗ .