24 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Par exemple, la combinaison constituée de deux objets de la catégorie 1, d’un objet de
la catégorie 3 et de trois objets de la catégorie 4 s’écrit (2, 0, 1, 3) ou 2 + 0 + 1 + 3 = 6
représentée sous la forme symbolique : // / . Réciproquement, la suite
de symboles / / / représente une combinaison d’un objet de la catégorie 2, de trois objets de la catégorie 3 et de deux objets de la catégorie 4. Il y a donc une
bijection entre une combinaison et une telle suite, et le nombre de combinaisons avec
répétition est donc égal au nombre de rangements des r objets (ou des n – 1 séparateurs /) dans les r + n – 1 cases, soit :
C
r
n =
r + n – 1
r
F. P artitions
Le nombre de partitions de n objets en r classes d’effectifs non fixés est appelé nombre
de Stirling de deuxième espèce et se calcule à partir de la récurrence :
S
r
n+1 = S
r – 1
n
+ rS
r
n , 1 < r < n
avec bien sûr S
1
n = 1 et S
2
n = 2
n – 1 – 1 . Les partitions de n + 1 objets en r classes se
décomposent en effet en celles où le (n + 1) -ème objet constitue une classe à lui tout
seul, il y en a S
r – 1
n
, et celles où on l’intègre à une classe déjà formée, il y en a rS
r
n .
Une surjection d’un ensemble E à n éléments dans un ensemble F à r éléments correspond à un rangement de n objets dans r boîtes dont aucune n’est vide, c’est-à-dire à
une partition de ces n objets en r classes, où l’ordre des classes intervient. À une partition donnée correspondent r! surjections distinctes, donc le nombre total de surjections
est r!S
r
n .
Le nombre de partitions de n objets distincts en k classes dont n j ont le même effectif j, 1 j k, (avec bien sûr
k
j=1 jn j = n ) est :
n!
(1!)
n 1 (2!)
n 2 ...(k!)
n k n 1 ! ...n k !