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Notion de probabilité 23
Une paire est un résultat de la forme (aabc) avec six choix possibles pour la hauteur, (
5
2
) choix possibles pour les hauteurs qui l’accompagnent et un nombre de
permutations de quatre objets dont trois distincts
4!
2!1!1!
, soit :
P ( paire) =
120
6 3
Le nombre de résultats quelconques (abcd) est le nombre de permutations sans
répétition de quatre objets pris parmi six, d’où :
P (quelconque) =
6 × 5 × 4 × 3
6 4
=
60
6 3
On vérifie bien que la somme des probabilités est égale à
216
6 3 = 1 .
Tous les sous-ensembles que l’on peut extraire d’un ensemble E à n éléments peuvent contenir 0, 1, ..., n éléments, d’où la relation :
card P(E) = 2
n =
n
0
+
n
1
+ ...+
n
n
Enfin, parmi les sous-ensembles à r éléments, il y a ceux qui contiennent un objet
particulier, en nombre (
n – 1
r – 1
), et ceux qui ne le contiennent pas, en nombre (
n – 1
r
),d ’où
la relation :
n
r
=
n – 1
r – 1
+
n – 1
r
qui permet de construire le triangle de Pascal.
E. Combinaisons avec répétition
Une combinaison avec répétition est un sous-ensemble non ordonné de r objets choisis
dans un ensemble qui en contient n et qui peuvent se répéter.
Exemple 1.31
Les r objets tirés avec remise dans une urne qui en contient n distincts forment
une combinaison avec répétition puisque seule compte la nature des objets tirés,
indépendamment de l’ordre des tirages.
Une telle combinaison sera représentée sous la forme (x 1 , ..., x n ) où x i , 1 i n,
représentera le nombre d’objets i appartenant au sous-ensemble, avec bien sûr x i 0 et
x 1 + ...+ x n = r . Elle peut être symbolisée par une suite formée d’objets et de séparateurs / avec x 1 objets avant le premier séparateur, x 2 objets entre le premier et le
deuxième /..., x n objets après le (n – 1)-ème /. Elle est donc caractérisée par la place
des r objets dans la suite des r + n – 1 symboles.
1
2 3
n – 2 n – 1
x 1
x 2
x n
x n – 1
Notion de probabilité 23
Une paire est un résultat de la forme (aabc) avec six choix possibles pour la hauteur, (
5
2
) choix possibles pour les hauteurs qui l’accompagnent et un nombre de
permutations de quatre objets dont trois distincts
4!
2!1!1!
, soit :
P ( paire) =
120
6 3
Le nombre de résultats quelconques (abcd) est le nombre de permutations sans
répétition de quatre objets pris parmi six, d’où :
P (quelconque) =
6 × 5 × 4 × 3
6 4
=
60
6 3
On vérifie bien que la somme des probabilités est égale à
216
6 3 = 1 .
Tous les sous-ensembles que l’on peut extraire d’un ensemble E à n éléments peuvent contenir 0, 1, ..., n éléments, d’où la relation :
card P(E) = 2
n =
n
0
+
n
1
+ ...+
n
n
Enfin, parmi les sous-ensembles à r éléments, il y a ceux qui contiennent un objet
particulier, en nombre (
n – 1
r – 1
), et ceux qui ne le contiennent pas, en nombre (
n – 1
r
),d ’où
la relation :
n
r
=
n – 1
r – 1
+
n – 1
r
qui permet de construire le triangle de Pascal.
E. Combinaisons avec répétition
Une combinaison avec répétition est un sous-ensemble non ordonné de r objets choisis
dans un ensemble qui en contient n et qui peuvent se répéter.
Exemple 1.31
Les r objets tirés avec remise dans une urne qui en contient n distincts forment
une combinaison avec répétition puisque seule compte la nature des objets tirés,
indépendamment de l’ordre des tirages.
Une telle combinaison sera représentée sous la forme (x 1 , ..., x n ) où x i , 1 i n,
représentera le nombre d’objets i appartenant au sous-ensemble, avec bien sûr x i 0 et
x 1 + ...+ x n = r . Elle peut être symbolisée par une suite formée d’objets et de séparateurs / avec x 1 objets avant le premier séparateur, x 2 objets entre le premier et le
deuxième /..., x n objets après le (n – 1)-ème /. Elle est donc caractérisée par la place
des r objets dans la suite des r + n – 1 symboles.
1
2 3
n – 2 n – 1
x 1
x 2
x n
x n – 1