22 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Exemple 1.28
Cherchons le nombre de mots différents formés avec les lettres du mot barbare. Il
y a sept lettres, mais seulement quatre catégories distinctes, soit un nombre de
mots distincts égal à :
7!
2!2!2!1!
= 630
C’est aussi le nombre de partitions de n objets en k classes d’effectifs n i ,1 i k,
fixés. Dans le cas particulier où il n’y a que deux classes, on obtient le coefficient binômial (
n
n 1
) qui représente le nombre de sous-ensembles à n 1 éléments que l’on peut extraire d’un ensemble à n éléments.
D. Combinaisons (sans répétition)
Une combinaison est un sous-ensemble non ordonné de r objets choisis dans un
ensemble qui en contient n. Ces sous-ensembles sont au nombre de :
n
r
=
A
r
n
r!
=
n!
r! (n – r)!
Exemple 1.29
Le nombre de tiercés dans le désordre avec quinze chevaux au départ est :
(
15
3
) = 455
Le sous-ensemble choisi définit bien sûr le sous-ensemble restant et donc :
n
r
=
n
n – r
Exemple 1.30
On joue au poker d’as avec quatre dés identiques et on souhaite calculer la probabilité des différents résultats possibles. Bien que les dés ne soient pas distincts,
nous retenons comme ensemble fondamental = E
4 ,où E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
est l’ensemble des résultats associés à un dé particulier ; ainsi tous les événements élémentaires sont équiprobables et ont même probabilité 1/6
4 . En effet, un
résultat est une permutation de quatre objets choisis parmi six. Un carré est un
résultat de la forme (aaaa) avec six choix possibles pour la hauteur :
P(carr ´
e) =
6
6 4 =
1
6 3
Un brelan est un résultat de la forme (aaab) avec six choix pour la hauteur a,
cinq choix pour b et quatre places possibles, soit :
P (br elan) =
6 × 5 × 4
6 4
=
20
6 3
Une double paire est un résultat de la forme (aabb) avec (
6
2
) choix possibles pour
les paires et une permutation de quatre objets dont deux seulement sont distincts,
soit
4!
2!2!
et :
P (double paire) =
15
6 3