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Notion de probabilité 21
Exemple 1.25
Le quinté est un exemple d’arrangement de cinq chevaux pris parmi tous les partants de la course.
Une telle permutation peut être représentée par les r objets rangés dans des cases
numérotées de 1 à r. Pour la première case il y a n choix possibles, pour la deuxième il
n’y en a plus que n – 1, et pour la r-ème il n’en reste plus que n – r + 1 ; le nombre d’arrangements est donc :
A
r
n = n (n – 1) ...(n – r + 1) =
n!
(n – r)!
Cela correspond au cardinal de l’ensemble fondamental associé à r tirages sans remise (schéma hypergéométrique) dans une urne contenant n objets distincts et tenant compte de l’ordre des tirages.
C’est aussi le nombre d’applications injectives d’un ensemble E à r éléments dans
un ensemble F à n éléments, une application injective pouvant être définie comme un
rangement de r objets dans n boîtes, chaque boîte ne pouvant contenir que zéro ou un
objet. Il faut bien sûr que n = card F card E = r .
Exemple 1.26
Le nombre de tiercés dans l’ordre avec quinze partants est :
A 3
15 = 15 × 14 × 13 = 2 730
Permutation : il s’agit du cas particulier n = r .
Une permutation est donc une suite ordonnée de n objets distincts ; le nombre de permutations est :
P n = A
n
n = n!
Exemple 1.27
Le classement de cinq candidats à une épreuve forme une permutation, il y en a
5! = 120 .
C’est aussi le nombre de bijections d’un ensemble E à n éléments dans un ensemble F
à n éléments.
C. Permutations avec répétition de n objets,
dont k seulement sont distincts
Il s’agit d’une suite ordonnée de n objets choisis dans k classes distinctes, le nombre
d’objets de la classe i étant n i , 1 i k, avec bien sûr n 1 + ...+ n k = n. Prenons
l’exemple de n boules numérotées, extraites sans remise d’une urne, et de k couleurs distinctes. Il y a n! tirages ordonnés possibles ; mais si on efface les numéros des n 1 boules
rouges par exemple, les n 1 ! permutations de ces boules conduisent à la même permutation, donc le nombre de permutations distinctes devient n!/n 1 ! Il en est bien sûr de même
pour toutes les autres couleurs et par conséquent le nombre de permutations est :
n!
n 1 ! ...n k !
Notion de probabilité 21
Exemple 1.25
Le quinté est un exemple d’arrangement de cinq chevaux pris parmi tous les partants de la course.
Une telle permutation peut être représentée par les r objets rangés dans des cases
numérotées de 1 à r. Pour la première case il y a n choix possibles, pour la deuxième il
n’y en a plus que n – 1, et pour la r-ème il n’en reste plus que n – r + 1 ; le nombre d’arrangements est donc :
A
r
n = n (n – 1) ...(n – r + 1) =
n!
(n – r)!
Cela correspond au cardinal de l’ensemble fondamental associé à r tirages sans remise (schéma hypergéométrique) dans une urne contenant n objets distincts et tenant compte de l’ordre des tirages.
C’est aussi le nombre d’applications injectives d’un ensemble E à r éléments dans
un ensemble F à n éléments, une application injective pouvant être définie comme un
rangement de r objets dans n boîtes, chaque boîte ne pouvant contenir que zéro ou un
objet. Il faut bien sûr que n = card F card E = r .
Exemple 1.26
Le nombre de tiercés dans l’ordre avec quinze partants est :
A 3
15 = 15 × 14 × 13 = 2 730
Permutation : il s’agit du cas particulier n = r .
Une permutation est donc une suite ordonnée de n objets distincts ; le nombre de permutations est :
P n = A
n
n = n!
Exemple 1.27
Le classement de cinq candidats à une épreuve forme une permutation, il y en a
5! = 120 .
C’est aussi le nombre de bijections d’un ensemble E à n éléments dans un ensemble F
à n éléments.
C. Permutations avec répétition de n objets,
dont k seulement sont distincts
Il s’agit d’une suite ordonnée de n objets choisis dans k classes distinctes, le nombre
d’objets de la classe i étant n i , 1 i k, avec bien sûr n 1 + ...+ n k = n. Prenons
l’exemple de n boules numérotées, extraites sans remise d’une urne, et de k couleurs distinctes. Il y a n! tirages ordonnés possibles ; mais si on efface les numéros des n 1 boules
rouges par exemple, les n 1 ! permutations de ces boules conduisent à la même permutation, donc le nombre de permutations distinctes devient n!/n 1 ! Il en est bien sûr de même
pour toutes les autres couleurs et par conséquent le nombre de permutations est :
n!
n 1 ! ...n k !