La probabilité qu’il y n’ait aucune une rencontre est donc :
q n = 1 – p n = 1 –
n
k=1
( – 1)
k+1
k!
=
n
k=0
( – 1)
k
k
→
1
e
= 0,36788 .
On obtient bien des valeurs plus petites que 1/2, sauf q 2 = 0,5. Les autres valeurs sont :
q 3 =
1
3
= 0,3333 ; q 4 =
3
8
= 0,375 ;
q 5 =
11
30
= 0,3667 ; q 6 =
265
720
= 0,3681
...
Exercice n°19
Il y a équiprobabilité de tous les quarts de finale qui sont au nombre de :
8!
(2!)
4 4!
= 105
car il s'agit du nombre de partitions de 8 équipes distincts en 4 matchs de même effectif
2 (cf. Compléments F).
Pour chaque équipe anglaise, le nombre d'associations possibles avec une équipe non
anglaise est successivement 4, puis 3, puis 2, puis 1. Il y a donc 4! = 24 quarts de finale qui ne comportent pas de match entre équipes anglaises. On obtient donc :
p = 1 − p 0 = 1 −
24
105
=
81
105
On peut calculer la probabilité des autres événements élémentaires. Deux quarts de finale entre équipes anglaises correspondent à 2 partitions de 2 sous-groupes de 4 (équipes
anglaises et non anglaises ) en matchs de même effectif 2, soit un nombre de possibilités:
4!
(2!)
2 2!
×
4!
(2!)
2 2!
= 9
La probabilité de deux quarts de finale entre équipes anglaises est donc :
p 2 =
9
105
Enfin, il y a (
4
2
) choix de matchs entre 2 équipes anglaises et (
4
2
) choix de matchs entre
2 équipes non anglaises. Il ne reste ensuite que 2 façons de choisir les 2 autres quarts de
finale en associant une des 2 équipes anglaises restantes à une des 2 équipes non
anglaises restantes. Cela correspond au nombre de quarts de finale :
2
4
2
4
2
= 72
La probabilité d'un seul match entre équipes anglaises est donc :
p 1 =
72
105
On retouve bien p = p 1 + p 2 .
Notion de probabilité 33
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