Exemple 1.21
On jette un dé rouge et un dé vert et on considère les événements
A = « le dé vert marque 6 »,et B = « le dé rouge marque 5 ». Il nous faut
démontrer que ces deux événements sont indépendants (bien entendu ce
résultat est évident, il n’y a pas d’influence d’un dé sur l’autre !).
L’ensemble fondamental retenu est = E × E, avec E ={1, 2, 3, 4, 5, 6},
sur lequel il y a équiprobabilité : P({ω}) = 1/6
2 . Comme A ={6}×E ,
B = E ×{5} et A ∩ B ={(6, 5)} on obtient :
P (A) =
card A
card
=
6
6 2 =
1
6
P (B) =
card B
card
=
6
6 2 =
1
6
P (A ∩ B) =
card (A ∩ B)
card
=
1
6 2 = P(A)P(B)
et les événements A et B sont donc bien indépendants.
• Indépendance mutuelle
Si l’on considère n événements A i ,a v e c n > 2, il y a lieu de distinguer l’indépendance deux à deux qui impose :
P(A i ∩ A j ) = P(A i )P(A j ), 1 i = j n
de l’indépendance mutuelle, condition plus forte qui s’écrit :
P(A i 1 ∩ A i 2 ∩ ...∩ A i k ) = P(A i 1 )P(A i 2 )...P(A i k ), 2 k n,
pour tous les sous-ensembles {i 1 ,...,i k } de {1, 2,...,n}, ce qui correspond à :
n
k=2
n
k
= 2
n –
n
0
–
n
1
= 2
n –1–n
conditions qui doivent être réalisées.
Exemple 1.22
On lance deux pièces de monnaie distinctes et on s’intéresse aux événements
A = « obtenir pile sur la pièce 1 », B = « obtenir pile sur la pièce 2 » et
C = « obtenir pile sur une seule pièce ». À chaque pièce est attaché le
même ensemble fondamental E ={P, F} et à l ’expérience l’ensemble
= E × E. On peut écrire A ={P}×E ={PP, PF} donc P(A) = 2/4,
B = E ×{P}={PP, FP} donc P(B) = 2/4 et C ={PF, FP} donc
P(C) = 2/4. On considère maintenant les événements deux à deux :
A ∩ B ={PP} donc P(A ∩ B) = 1/4 = P(A)P(B), A ∩ C ={PF} donc
P(A ∩ C) = 1/4 = P(A)P(C) et B ∩ C ={FP} donc P(B ∩ C) = 1/4
= P(B)P(C) , ces événements sont indépendants deux à deux. Mais
A ∩ B ∩ C =∅ donc P(A ∩ B ∩ C) = 0 = P(A)P(B)P(C) et ces événements ne sont pas indépendants dans leur ensemble.
18 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
On jette un dé rouge et un dé vert et on considère les événements
A = « le dé vert marque 6 »,et B = « le dé rouge marque 5 ». Il nous faut
démontrer que ces deux événements sont indépendants (bien entendu ce
résultat est évident, il n’y a pas d’influence d’un dé sur l’autre !).
L’ensemble fondamental retenu est = E × E, avec E ={1, 2, 3, 4, 5, 6},
sur lequel il y a équiprobabilité : P({ω}) = 1/6
2 . Comme A ={6}×E ,
B = E ×{5} et A ∩ B ={(6, 5)} on obtient :
P (A) =
card A
card
=
6
6 2 =
1
6
P (B) =
card B
card
=
6
6 2 =
1
6
P (A ∩ B) =
card (A ∩ B)
card
=
1
6 2 = P(A)P(B)
et les événements A et B sont donc bien indépendants.
• Indépendance mutuelle
Si l’on considère n événements A i ,a v e c n > 2, il y a lieu de distinguer l’indépendance deux à deux qui impose :
P(A i ∩ A j ) = P(A i )P(A j ), 1 i = j n
de l’indépendance mutuelle, condition plus forte qui s’écrit :
P(A i 1 ∩ A i 2 ∩ ...∩ A i k ) = P(A i 1 )P(A i 2 )...P(A i k ), 2 k n,
pour tous les sous-ensembles {i 1 ,...,i k } de {1, 2,...,n}, ce qui correspond à :
n
k=2
n
k
= 2
n –
n
0
–
n
1
= 2
n –1–n
conditions qui doivent être réalisées.
Exemple 1.22
On lance deux pièces de monnaie distinctes et on s’intéresse aux événements
A = « obtenir pile sur la pièce 1 », B = « obtenir pile sur la pièce 2 » et
C = « obtenir pile sur une seule pièce ». À chaque pièce est attaché le
même ensemble fondamental E ={P, F} et à l ’expérience l’ensemble
= E × E. On peut écrire A ={P}×E ={PP, PF} donc P(A) = 2/4,
B = E ×{P}={PP, FP} donc P(B) = 2/4 et C ={PF, FP} donc
P(C) = 2/4. On considère maintenant les événements deux à deux :
A ∩ B ={PP} donc P(A ∩ B) = 1/4 = P(A)P(B), A ∩ C ={PF} donc
P(A ∩ C) = 1/4 = P(A)P(C) et B ∩ C ={FP} donc P(B ∩ C) = 1/4
= P(B)P(C) , ces événements sont indépendants deux à deux. Mais
A ∩ B ∩ C =∅ donc P(A ∩ B ∩ C) = 0 = P(A)P(B)P(C) et ces événements ne sont pas indépendants dans leur ensemble.
18 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS