Exemple 1.20
On tire au sort entre trois urnes dont les compositions sont indiquées dans
le tableau ci-après. Sachant qu’on a obtenu une boule rouge, on se pose la
question de savoir quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne U 2 .
Notion de probabilité 17
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Rouge
Bleue
Verte
U 1
341
U 2
123
U 3
432
P(R) =
3
i=1
P(R ∩ U i ) =
3
i=1
P(U i )P(R|U i ) =
1
3
3
8
+
1
6
+
4
9
La probabilité a posteriori de l’urne U 2 étant donc :
P(U 2 |R) =
P(U 2 )P(R|U 2 )
P(R)
=
1/6
3/8 + 1/6 + 4/9
=
12
71
=
36
213
<
71
213
= P(U 2 )
IV. Indépendance en probabilité
Définition
Deux événements A et B sont dits indépendants, relativement à la probabilité P, s i :
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
La probabilité de réalisation simultanée de deux événements indépendants
est égale au produit des probabilités que chacun de ces événements se produise
séparément. En conséquence, si P (B) > 0 :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A)P(B)
P(B)
= P(A)
la réalisation d’un événement ne modifie pas la probabilité de réalisation de
l’autre.
Attention ! Ne pas confondre indépendance avec incompatibilité, car
dans ce dernier cas A ∩ B =∅et P(A ∩ B) = 0.