de 1/5 et 4/5 puis on tire une boule dans l’urne choisie. Leurs compositions respectives sont 6 blanches, 4 noires et 3 blanches, 7 noires. La probabilité a priori de U 1 est donc 1/5. Sa probabilité a posteriori, sachant
qu’on a obtenu une boule blanche, va être plus élevée car la probabilité
de tirer une blanche dans U 1 est plus forte que dans U 2 .
On a :
P(U 1 |B) =
P(U 1 ∩ B)
P(B)
avec :
P(U 1 ∩ B) = P(U 1 )P(B|U 1 ) =
1
5
×
6
10
=
3
25
P(B) = P(B ∩ U 1 ) + P(B ∩ U 2 )
= P(U 1 )P(B|U 1 ) + P(U 2 )P(B|U 2 )
=
1
5
×
6
10
+
4
5
×
3
10
=
9
25
ainsi :
P(U 1 |B) =
3/25
9/25
=
1
3
> P(U 1 ) =
1
5
Cet exemple peut se traiter par application de la formule de Bayes que nous
allons établir en considérant un système complet d’événements, c’est-à-dire une
partition de en événements {A 1 ,..., A n } de probabilités strictement positives,
P(A i )>0 pour 1 i n, et incompatibles deux à deux, i.e. avec A i ∩ A j =∅
pour i = j et
n
i=1
P(A i ) = 1. On suppose que les probabilités des événements
inclus dans chacun des A i sont connues et on va donc décomposer un événement
quelconque B sur ce système :
B = B ∩ = B ∩
n
i=1
A i
=
n
i=1
(A i ∩ B)
On aboutit ainsi à la formule de la probabilité totale :
P(B) =
n
i=1
P(A i ∩ B) =
n
i=1
P(A i )P(B|A i )
Ceci va nous permettre de calculer les probabilités a posteriori P(A i |B),
après réalisation d’un événement B, à partir des probabilités a priori
P(A i ),1 i n :
P(A i |B) =
P(A i ∩ B)
P(B)
=
P(A i )P (B|A i )
n
j=1
P(A j )P(B|A j )
résultat appelé formule de Bayes ou parfois théorème de Bayes.
16 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS