qu’il y ait équiprobabilité des événements élémentaires, soit
P({ω}) = 1/8 puisque card = 2
3 = 8. Ces événements s’écrivent
A ={FFP, FPF, PFF, FFF} et B ={FFF, FFP, FPF, FPP} ,avec
card A = card B = 4 donc P(A) = P(B) = 4/8 = 1/2. Calculons
maintenant la probabilité conditionnelle P(A|B). On a A ∩ B ={FFP,
FPF, FFF} donc card A ∩ B = 3 et P(A ∩ B) = 3/8 . Ainsi :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
3
4
>
1
2
la probabilité conditionnelle a ici augmenté.
La formule de définition de la probabilité conditionnelle peut aussi s’écrire,
si P(A)>0 :
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
et s’appelle parfois formule des probabilités composées ; elle se généralise par
récurrence :
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ...∩ A n ) =P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 ∩ A 2 )
...P(A n |A 1 ∩ A 2 ∩ ...∩ A n –1 )
=P(A 1 )
n
k=2
P
A k |
k –1
i=1
A i
Exemple 1.18
Dans une urne qui contient deux boules rouges et trois noires, quatre personnes tirent successivement une boule sans la remettre ; la première qui
tire une rouge gagne. Calculons la probabilité de gain de chaque personne A, B, C et D :
P (A) = P (R 1 ) =
2
5
P (B) = P(N 1 )P(R 2 |N 1 ) =
3
5
×
2
4
=
3
10
P (C) = P(N 1 )P(N 2 |N 1 )P(R 3 |N 1 N 2 ) =
3
5
×
2
4
×
2
3
=
1
5
P (D) = P(N 1 )P(N 2 |N 1 )P(N 3 |N 1 N 2 )P(R 4 |N 1 N 2 N 3 ) =
3
5
×
2
4
×
1
3
×
2
2
=
1
10
III. Théorème de Bayes
Nous allons voir à partir d’un exemple dans quelles conditions on peut être
amené à utiliser la formule, ou théorème, de Bayes.
Exemple 1.19
Considérons une expérience aléatoire qui se déroule en deux étapes : on
tire au sort entre deux urnes U 1 et U 2 , avec des probabilités respectives
Notion de probabilité 15
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