Vérifions que cette application π de A dans R, définie par
π(A) = P(A ∩ B)/P(B) est bien une probabilité. On a bien entendu π(A) 0
et comme A ∩ B ⊂ B on a également π(A) 1 . D’autre part :
π(() =
P(( ∩ B)
P(B)
=
P(B)
P(B)
= 1
donc π vérifie la première condition de la définition.
Enfin, si A n ∈ A avec A m ∩ A n =∅pour m = n, alors :
π
∞
n=0
A n
=
1
P(B)
P
∞
n=0
(A n ∩ B)
=
∞
n=0
P(A n ∩ B)
P(B)
=
∞
n=0
π(A n )
donc la condition 2 est aussi vérifiée.
Exemple 1.16
On tire sans remise deux cartes successivement d’un jeu de 52 et on
cherche la probabilité de tirer un as au deuxième coup sachant que l’on
en a obtenu un au premier. Avec des notations évidentes :
P(A 2 |A 1 ) =
P(A 1 A 2 )
P(A 1 )
=
(4 × 3)/(52 × 51)
4/52
=
3
51
=
1
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alors que la probabilité non conditionnelle est :
P(A 2 ) = P(A 1 A 2 ) + P(A 1 A 2 ) =
4 × 3
52 × 51
+
48 × 4
52 × 51
=
4
52
= P(A 1 ) =
1
13
donc valeur plus élevée (avoir tiré un as au premier coup diminue la probabilité d’en tirer un au second).
Exemple 1.17
On lance trois fois une pièce de monnaie et on considère les événements
A = « obtenir au moins deux face » et B = « obtenir face au premier coup ».
L’ensemble fondamental retenu est = {P, F}
3 , ensemble des triplets
ordonnés, bien que l’ordre des résultats n’intervienne pas, mais pour
14 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Ω
B
Ω
B
A
A A
Figure 1.1