ce qui correspond aux probabilités :
P{(1, 5)}=
117
805
, P{(2, 4)}=
390
805
, P{(3, 3)}=
286
805
, P{(0, 6)}=
12
805
C’est donc la répartition (2, 4) qui est la plus probable.
On demande maintenant de répondre à la même question dans le cas où
les deux partenaires ont fourni aux deux premiers tours d’atout. Les
seules répartitions initiales possibles sont alors (2, 4) et (3, 3), donnant
respectivement les répartitions (0, 2) et (1, 1) après deux tours d’atout. Il
reste (
22
11
) répartitions équiprobables entre les deux joueurs, les répartitions restantes des deux atouts, et donc des vingt non-atouts, ayant comme
probabilités :
P{(0, 2)}=2
(
20
11
)
(
22
11
)
=
10
21
, P{(1, 1)}=
(
2
1
)(
20
10
)
(
22
11
)
=
11
21
La répartition la plus probable a posteriori, c’est-à-dire après les deux
tours d’atouts, est donc issue de la moins probable des deux a priori.
II. Probabilités conditionnelles
On considère l’espace probabilisé (, A, P) et un événement particulier B de
A tel que P(B)>0 . La connaissance de la réalisation de B modifie la probabilité de réalisation d’un événement élémentaire, puisque l’ensemble des résultats
possibles est devenu B et non plus .
Exemple 1.15
À l’issue d’un jet de dé on sait que le résultat est supérieur à trois et on
s’intéresse à l’événement A = « obtenir une face paire ». Initialement on
avait P(A) = 3/6 = 1/2 ; maintenant est devenu |B ={4, 5, 6} et
P(A|B) = 2/3 > 1/2 .
Cette nouvelle probabilité, notée P(.|B), est définie sur la tribu conditionnelle :
A|B = {A ∩ B/A ∈ A}
par :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Seuls les événements ayant une partie commune avec B peuvent se réaliser
et la figure 1.1 visualise cette situation où l’ensemble fondamental est devenu B
et donc seule la part de A incluse dans B est prise en compte dans le calcul de
la probabilité conditionnelle.
Notion de probabilité 13
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