Si on remplace l’écart type inconnu par son estimateur
S 2
x /n 1 + S 2
y /n 2 pour réduire
X − Y , on n’obtiendra pas une loi de Student. Il faut pour cela que l’écart type des deux
échantillons soit le même. On doit donc faire le test préalable d’égalité des variances :
H 0 : σ
2
1 = σ
2
2
H 1 : σ
2
1 = /σ
2
2
. ⇐⇒
H 0 : σ
2
1 /σ
2
2 = 1
H 1 : σ
2
1 /σ
2
2 = / 1
On accepte l’hypothèse nulle si le rapport S
2
x /S
2
y est voisin de 1, soit une région d’acceptation de la forme :
a <
S
2
x
S 2
y
< b
Si on répartit le risque α de façon symétrique, les valeurs des constantes a et b sont définies par :
α
2
= P
S
2
x
S 2
y
< a|H 0
= P
S
2
x
S 2
y
> b|H 0
avec S
2
x /S
2
y qui suit une loi de Fisher-Snedecor F (n 1 − 1,n 2 − 1) sous H 0 . Pour la
valeur standard α = 0,05 on lit dans la table 7 le fractile a =
1
1,80
= 0,56 et
b = 1,74. La valeur calculée de S
2
x /S
2
y pour cet échantillon est 1,44 donc on accepte
l’égalité des variances. On retient alors comme estimateur sans biais de la variance commune σ
2 = σ
2
1 = σ
2
2 :
S
2 =
(n 1 − 1) S
2
x + (n 2 − 1) S
2
y
n 1 + n 2 − 2
La région critique du test initial est alors définie par :
X − Y
S
√
1/n 1 + 1/n 2
> t
Le seuil t est déterminé par :
α = P
X − Y
S
√
1/n 1 + 1/n 2
> t|H 0
C’est donc le fractile d’ordre 1 − α/2 de la loi de Student à n 1 + n 2 − 2 degrés de
liberté. Pour α = 0,05 on lit dans la table 6 le fractile t = 1,984. Pour cet échantillon,
on observe s = 1,52 et :
x − y
s
√
1/n 1 + 1/n 2
=−9,77
On refuse donc l’égalité des moyennes de ces deux lois.
284 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS