Pour n = 12 et α = 0,025 on lit dans la table 6 la valeur C = 2,201. On ne peut pas
calculer la fonction puissance qui est définie par :
η (m) = P
√
n
X n − 6
S n
> C|m > 6
= P
√
n
X n − m
S n
> C −
√
n
m − 6
S n
puisque C −
√
n
m − 6
S n
est une v.a.
Exercice n°11
Nous allons appliquer le théorème de Lehmann. L’expression de la vraisemblance est :
L (x 1 ,. . . ,x n ; θ ) =
n
i=1
1
2θ
√ x i
exp
−
√ x i
θ
=
1
(2θ )
n
n
i=1
1
√ x i
exp
−
1
θ
n
i=1
√
x i
pour x i > 0,1 i n.
Le rapport des vraisemblances s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; θ )
L (x 1 ,...,x n ; θ ′ )
=
θ
′
θ
n
exp
θ − θ
′
θθ ′
n
i =1
√
x i
C’est une fonction croissante de S n =
n
i =1
√ x i pour θ>θ
′ donc S n > C définit la
région critique d’un test UPP. La valeur de la constante C est déterminée par :
α = P (W |θ 0 = 1) = P
n
i =1
X i C|θ 0 = 1
Nous allons d’abord déterminer la loi de la v.a. Y =
√
X à partir de sa fonction de répartition définie par :
G (y) = P (Y < y) = P
√
X < y
= P
X < y
2
= F
y
2
pour y > 0,F étant la f.r. de X. On obtient la densité par dérivation, soit pour y > 0:
g (y) = 2yf
y
2
=
1
θ
e
−y/θ
On reconnaît la loi exponentielle de paramètre 1/θ, ou loi γ (1,1/θ ) . La v.a.
S n =
n
i =1
X i est la somme de n v.a. indépendantes et de même loi γ (1,1/θ ) , donc
suit une loi γ (n,1/θ ) . On utilise le résultat du chapitre 3 § II.E où on avait établi que
2S n /θ χ
2
2n . On a donc ici :
α = P
n
i =1
X i C|θ 0 = 1
= P (2S n 2C)
Ainsi, 2C est le fractile d’ordre 1 − α de la loi χ
2
2n . Pour α = 0,01 et n = 15, on lit
dans la table 5 la valeur 2C = 50,892 soit un seuil C = 25,45. La fonction puissance
du test est définie pour θ>1 par :
η (θ ) = P
n
i =1
X i C|θ>1
= P (2S n /θ 2C/θ ) = 1 − K (2C/θ )
avec K qui est la f.r. de la loi χ
2
2n .
282 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS