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Tests d’hypothèses 281
contre H 1 : m > 3 et se définit par :
x n C
On peut aussi appliquer le théorème de Lehmann. Le rapport des vraisemblances s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; θ )
L (x 1 ,...,x n ; θ ′ )
= exp
−
n
2
θ
2 − θ
′2
+ n
θ − θ
′
x n
C’est une fonction croissante de x n pour θ>θ
′ donc x n > C définit la région critique
d’un test UPP. La valeur de la constante C est déterminée par :
α = P (W |m = 3) = P
X n C|m = 3
Pour m = 3, la moyenne empirique X n suit la loi N
3,1/
√
n
, donc en centrant et
réduisant on obtient la condition :
α = P
U
C − 3
1/
√
n
où U est une v.a. de loi N (0,1). Ainsi la constante C est définie par :
C = 3 +
u
√
n
où u est le fractile d’ordre 1 − α de la loi N (0,1). Pour un risque α = 0,05 on lit dans
la table 2 le fractile u = 1,6449 d’où une région critique définie pour n = 100 par :
W = {(x 1 ,...,x 100 ) /x 100 3,16}
La fonction puissance du test est :
η (m) = P
X n 3 +
u
√
n
|m > 3
= P
U
√
n (3 − m) + 1,645
= 1 −
1,645 −
√
n (m − 3)
où est la f.r.de la loi N (0,1).
Exercice n°10
Les hypothèses en présence sont de la même forme que dans l’exercice précédent. Mais
ici, pour m = 6, la loi de la moyenne empirique X n est inconnue et nous ne pouvons pas
déterminer le seuil. Nous allons utiliser une autre statistique, de loi connue pour m = 6,
qui sera
√
n
X n − 6
/S n , de loi de Student à n − 1 degrés de liberté. La région critique est définie par la condition :
√
n
x n − 6
s n
> C
On détermine la valeur de C par :
α = P
√
n
X n − 6
S n
> C |m = 6