Le théorème de Neyman et Pearson, qui permet d’obtenir le test de puissance maximum,
définit la région critique par la condition
L 0
L 1
k, qui est donc ici équivalente, en prenant les logarithmes, à :
(ln2 − lnλ 1 )
n
i =1
x i k 1
Puisque λ 1 < 2, la région critique W est définie par la condition :
n
i =1
x i C
La valeur du seuil C est déterminée par :
α = P (W |H 0 ) = P
n
i =1
X i C|λ = 2
C’est donc le fractile d’ordre α de la loi de Poisson de paramètre 2n. Pour n = 6 et
α = 0,05 on lit C = 6. La région critique est indépendante de la valeur choisie pour
λ 1 , donc elle est aussi celle du test UPP pour l’alternative H 1 : λ<2. Au bout de six
mois, on considère que le contrat a été efficace si on observe un nombre de pannes inférieur ou égal à 6.
Exercice n°9
Les deux hypothèses sont multiples. On détermine d’abord la région critique du test entre
les deux hypothèses simples :
H 0 : m = m 0
H 1 : m = m 1
avec m 0 et m 1 quelconques, mais vérifiant m 0 3 et m 1 > 3. La vraisemblance
s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; m) =
1
√
2π
exp
−
1
2
n
i =1
(x i − m)
2
La forme de la région critique, donnée par le théorème de Neyman et Pearson, est
L 0 /L 1 k, ce qui en passant aux logarithmes conduit à l’inégalité :
−
1
2
n
i =1
(x i − m 0 )
2 − (x i − m 1 )
2
ln k
Elle est équivalente, après développement du crochet, à :
(m 1 − m 0 ) x n k 1
ayant posé x n =
1
n
n
i =1
x i . Cette région critique est indépendante des valeurs de m 0 et
m 1 qui vérifient toujours m 1 − m 0 > 0. C’est donc celle du test UPP pour H 0 : m 3
280 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS