Le rapport des vraisemblances, L 0 sous H 0 , et L 1 sous H 1 , s’écrit donc :
L 0
L 1
=
σ 1
5
n/2
exp
−
1
2
1
25
−
1
σ
2
1
n
i =1
(x i − 100)
2
Le théorème de Neyman et Pearson, qui permet d’obtenir le test de puissance maximum,
définit la région critique par la condition
L 0
L 1
k, qui est donc ici équivalente, en prenant les logarithmes, à :
−
1
2
1
25
−
1
σ
2
1
n
i =1
(x i − 100)
2 k 1
Puisque σ
2
1 > 25, cette région critique W est définie par la condition :
n
i =1
(x i − 100)
2 C
La valeur du seuil C est déterminée par :
α = P (W |H 0 ) = P
n
i =1
(X i − 100)
2 C|σ = 5
Sous H 0 , les v.a. X i − 100 sont normales, centrées, d’écart type σ = 5 et indépendantes, donc
n
i =1
(X i − 100)
2 /25 suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté. La
valeur de C/25 est donc celle du fractile d’ordre 1 − α de la loi χ
2
n . La région critique
est indépendante de la valeur choisie pour σ 1 , donc elle est aussi celle du test UPP pour
l’alternative H 1 : σ>5. La fonction puissance est définie pour σ>5 par :
η (σ ) = P (W |H 1 ) = P
n
i =1
(X i − 100)
2 C|σ>5
Elle se calcule à partir de la fonction de répartition F n de la loi χ
2
n par :
η (σ ) = 1 − F n
C
σ 2
Pour n = 10 et α = 0,05 on lit dans la table 5 la valeur C = 25 × 18,3 = 457,5.
Exercice n°8
Il s’agit de tester l’hypothèse H 0 : λ = 2 contre l’hypothèse H 1 : λ<2 à partir d’un
échantillon de taille n = 6. On effectue d’abord le test d’hypothèses simples H 0 : λ = 2
contre H 1 : λ = λ 1 avec λ 1 quelconque, mais vérifiant λ 1 < 2. Le rapport des vraisemblances, L 0 sous H 0 , et L 1 sous H 1 , s’écrit :
L 0
L 1
= e
−n(2−λ 1 )
2
λ 1
n
i =1
x i
Tests d’hypothèses 279
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