278 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Le théorème de Neyman et Pearson, qui permet d’obtenir le test de puissance maximum,
définit la région critique par la condition
L 0
L 1
k, qui est donc ici équivalente, en prenant les logarithmes, à :
−
1
2
(1 − θ 1 )
n
i =1
x
2
i k 1
Puisque θ 1 > 1, cette région critique W est définie par la condition :
n
i =1
x
2
i C
La valeur du seuil C est déterminée par :
α = P (W |H 0 ) = P
n
i =1
X
2
i C|θ = 1
Sous H 0 , les v.a. X i sont normales, centrées, réduites et indépendantes, donc
n
i =1
X
2
i suit
une loi du khi-deux à n degrés de liberté. La valeur du seuil C est donc celle du fractile
d’ordre α de la loi χ
2
n . La région critique est indépendante de la valeur choisie pour θ 1 ,
donc elle est aussi celle du test UPP pour l’alternative H 1 : θ>1. La fonction puissance
est définie pour θ>1 par :
η (θ ) = P (W |H 1 ) = P
n
i =1
X
2
i C|θ>1
Elle se calcule à partir de la fonction de répartition F n de la loi χ
2
n par :
η (θ ) = F n (θC)
Pour n = 15 et α = 0,05 on lit dans la table 5 la valeur C = 7,26. Pour θ = 3 la puissance vaut alors η (3) = F 15 (21,78) ≃ 0,9.
Exercice n°7
L’hypothèse alternative étant une hypothèse multiple, on détermine d’abord la région critique du test entre les deux hypothèses simples :
H 0 : σ = 5
H 1 : σ = σ 1
avec σ 1 quelconque, mais vérifiant σ 1 > 5. L’expression de la vraisemblance est :
L (x 1 ,...,x n ; σ ) =
n
i =1
1
σ
√
2π
exp
−
1
2σ 2 (x i − 100)
2
=
1
σ
√
2π
n
exp
−
1
2σ 2
n
i =1
(x i − 100)
2