On retient donc comme valeur approchée du seuil :
C = θ 0 + u
θ 0
√
n
où u est le fractile d'ordre 1 − α de la loi N (0,1) .
La puissance se calcule alors par :
η = P( ˆ
θ n > C|H 1 ) = P
√
n
ˆ
θ n − θ 1
θ 1
>
√
n
C − θ 1
θ 1
en utilisant à nouveau la loi asymptotique N (0,1) .
5) La région critique précédente dépendait des valeurs respectives de θ dans les deux
hypothèses. Le test de région d'acceptation définie par :
C 1 < ˆ
θ n < C 2
n'est donc pas UPP. Les valeurs approchées des seuils critiques sont :
C 1 = θ 0 − u
θ 0
√
n
et C 2 = θ 0 + u
θ 0
√
n
où u est le fractile d'ordre 1 − α/2 de la loi N (0,1) . On ne peut pas calculer la puissance de ce test, l'hypothèse alternative étant multiple.
6) Pour θ
′ >θle rapport des vraisemblances L θ ′ /L θ est une fonction croissante de ˆ
θ n .
D'après le théorème de Lehmann, la région critique du test de la question 4 est celle d'un
test UPP pour les hypothèses confrontées ici. Son risque de première espèce est défini
par :
α(θ) = P( ˆ
θ n > C|H 0 ) = P
√
n
ˆ
θ n − θ
θ
>
√
n
C − θ
θ
Cette fonction atteint son maximum, d'après le théorème de Lehmann, pour θ = θ 0 . Si
on utilise la loi asymptotique, le seuil
√
n(C/θ − 1) est une fonction décroissante de θ,
donc α est bien une fonction croissante de θ.
Exercice n°6
L’hypothèse alternative étant une hypothèse multiple, on détermine d’abord la région critique du test entre les deux hypothèses simples :
H 0 : θ = 1
H 1 : θ = θ 1
avec θ 1 quelconque, mais vérifiant θ 1 > 1. L’expression de la vraisemblance est :
L (x 1 ,...,x n ; θ ) =
n
i =1
θ
2π
exp
−
θ
2
x
2
i
=
θ
2π
n/2
exp
−
θ
2
n
i =1
x
2
i
Le rapport des vraisemblances, L 0 sous H 0 , et L 1 sous H 1 , s’écrit donc :
L 0
L 1
=
1
θ 1
n/2
exp −
1
2
(1 − θ 1 )
n
i =1
x
2
i
Tests d’hypothèses 277
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