Sa valeur approchée est définie par η = (2,02) = 0,98, où est la f.r. de la loi
N (0,1). Notons que le risque de seconde espèce β = 0,02 est inférieur au risque de
première espèce α = 0,05.
Exercice n°5
1) La vraisemblance est :
L(x 1 ,...,x n ; θ,λ) =
1
θ n exp
−
1
θ
n
i =1
x i
e
nλ/θ
à condition que tous les x i soient supérieurs à λ, ce qui est équivalent à la condition
m n = min{x 1 ,...,x n } >λ. La vraisemblance est une fonction croissante de λ avant
m n et nulle au-delà, donc atteint son maximum pour λ = m n . L'estimateur du maximum
de vraisemblance est donc :
ˆ
λ n = m n = min{X 1 ,...,X n }
Sa loi de probabilité est définie dans l'exercice 15 du chapitre 3. On voit que la v.a.
Z = n
m n − λ
θ
suit une loi exponentielle, avec E(Z ) = V (Z ) = 1. On en déduit :
E(m n ) = λ +
θ
n
et V (m n ) =
θ
2
n 2
C'est donc un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent.
2) La log-vraisemblance a pour expression :
ln L(x 1 ,...,x n ; θ,λ) =−n ln θ −
1
θ
n
i =1
(x i − λ)
Cette fonction est dérivable pour tout θ>0 avec :
∂ln L
∂θ
=−
n
θ
+
1
θ 2
n
i =1
(x i − λ)
La dérivée s'annule pour θ =
n
i =1
(x i − λ)/n ; la dérivée seconde est négative pour cette
valeur :
∂
2 ln L
∂θ 2 =
n
θ 2 −
2
θ 3
n
i =1
(x i − λ)
L'estimateur du maximum de vraisemblance est donc :
ˆ
θ n =
1
n
n
i =1
X i − ˆ
λ n = X n − m n
Cet estimateur est asymptotiquement sans biais :
E( ˆ
θ n ) = E(X ) − E(m n ) = θ −
θ
n
résultat déduit de l'exercice 15 du chapitre 3.
Tests d’hypothèses 275
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