Le théorème de Neyman et Pearson, qui permet d’obtenir le test de puissance maximum,
définit la région critique par la condition
L 0
L 1
k, qui est donc ici équivalente, en prenant les logarithmes, à :
(θ 1 − θ 0 )
n
i =1
lnx i k 1
Puisque θ 1 >θ 0 , cette région critique W est définie par la condition :
n
i =1
lnx i C
La valeur du seuil C est déterminée par :
α = P (W |H 0 ) = P
n
i =1
lnX i C|θ =
4
3
La taille d’échantillon permet ici d’utiliser le théorème central limite que nous allons
appliquer à Y n =
1
n
n
i =1
Y i , ayant posé Y i = lnX i ,1 i n. Il nous faut pour cela
déterminer la loi de la v.a. Y = lnX. Sa fonction de répartition est définie par :
G (y) = P (Y < y) = P (lnX < y) = P (X < e
y ) = F (e
y )
pour y > 0. On obtient la densité par dérivation :
g (y) = e
y f (e
y ) = θ e
−θ y
On reconnaît la loi exponentielle de paramètre θ, donc E (Y ) =
1
θ
et V (Y ) =
1
θ 2 .
D’après le théorème central limite :
√
n
Y n − 1/θ
1/θ
− −−→
loi
N (0,1)
La constante C est alors déterminée approximativement par :
α = P
Y n
C
n
= P
√
n
θ 0 Y n − 1
√
n
θ 0
C
n
− 1
Le fractile d’ordre 0,05 de la loi N (0,1) a pour valeur −1,645 donc la valeur approchée
du seuil C est définie par la condition :
√
n
4C
3n
− 1
=−1,645
Soit, pour n = 400,C = 275. La puissance est déterminée par :
η = P (W |H 1 ) = P
n
i =1
lnX i C|θ =
8
5
= P
Y n
C
n
= P
√
n
θ 1 Y n − 1
√
n
θ 1
C
n
− 1
274 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS