ce qui est équivalent 1,6449−
√
n/2 −1,2816 soit
√
n 5,853 donc une taille
d’échantillon supérieure à n 0 = 35.
Exercice n°3
Pour effectuer ce test, nous disposons d’un échantillon d’une loi normale centrée, d’écart
type σ = 1 sous H 0 et σ = 2 sous H 1 . Le rapport des vraisemblances a donc pour
expression :
L 0
L 1
= 2
n exp
1
8
n
i =1
x i
2 −
1
2
n
i =1
x i
2
= 2
n exp −
3
8
n
i =1
x i
2
La région critique est donc définie par le théorème de Neyman et Pearson comme l’ensemble des points (x 1 ,...,x n ) tels que :
n
i =1
x i
2 C
La valeur de la constante C est déterminée par la condition :
α = P
n
i =1
X
2
i C |H 0
Sous l’hypothèse nulle H 0 ,
n
i =1
X
2
i suit la loi χ
2
n , donc C est le fractile d’ordre 1 − α de
cette loi. Pour α = 0,05 on lit dans la table 5 la valeur C = 25. La puissance du test
est :
η = P
n
i =1
X
2
i C |H 1
Sous l’hypothèse H 1 ,
n
i =1
X
2
i
4
suit la loi χ
2
n , donc :
η = P
1
4
n
i =1
X
2
i
C
4
= 0,975
par lecture de la table 5. Notons qu’ici le risque de seconde espèce β = 0,025 est inférieur au risque de première espèce α = 0,05. Pour respecter la logique de Neyman et
Pearson, il faudrait donc choisir un risque de première espèce plus faible.
Exercice n°4
L’expression de la vraisemblance est :
L (x 1 ,...,x n ; θ ) =
n
i =1
θ x
−θ −1
i
= θ
n
n
i =1
x i
−θ −1
pour x i 1,1 i n.
Le rapport des vraisemblances, L 0 sous H 0 , et L 1 sous H 1 , s’écrit donc :
L 0
L 1
=
θ 0
θ 1
n n
i =1
x i
θ 1 −θ 0
Tests d’hypothèses 273
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.