−
1
2
n
i =1
(x i − 1)
2 − (x i − 1,5)
2
lnk
Elle est équivalente, après développement du crochet, à :
−
n
i =1
x i +
5n
4
2lnk
Pour l’instant, on cherche seulement à déterminer la forme de la région critique et l’expression des constantes qui apparaissent dans cette inégalité est sans intérêt. On remplace
donc cette inégalité par
n
i =1
x i k 1 , qui lui est équivalente. La région critique est donc
définie à partir de la valeur de la somme des observations. Cependant, comme c’est la loi
de la moyenne empirique X n qui est connue, il est préférable de faire intervenir cette
moyenne dans la définition de la région critique W, qui sera donc l’ensemble des points
(x 1 ,...,x n ) tels que :
x n C
Il reste à préciser la valeur de cette constante C, qui sera le seuil de cette région, à partir du risque de première espèce α qui est fixé. Il représente la probabilité de cette région,
lorsque l’hypothèse nulle est réalisée, et par conséquent, la condition qui définit C
s’écrit :
α = P (W |m = 1) = P
X n C|m = 1
Sous H 0 , la moyenne empirique X n suit la loi N
1,1/
√
n
, donc en centrant et réduisant on obtient la condition :
α = P
U
C − 1
1/
√
n
où U est une v.a. de loi N (0,1). Ainsi la constante C est définie par :
C = 1 +
u
√
n
où u est le fractile d’ordre 1 − α de la loi N (0,1). Pour un risque α = 0,05 on lit dans
la table 2 le fractile u = 1,6449 d’où une région critique définie pour n = 25 par :
W = {(x 1 ,...,x 25 ) /x 25 1,33}
Dans ce cas, la puissance du test est la probabilité de cette région dans l’hypothèse alternative, soit :
η = P
X 25 1,33|m = 1,5
= P
U
1,33 − 1,5
1/
√
25
= P (U −0,85) = 0,8023
Pour un risque α = 0,05 la condition η 0,90 conduit à choisir une taille d’échantillon n telle que :
η = P
X n 1 +
u
√
n
|m = 1,5
= P
U u −
√
n
2
0,90
272 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1
2
n
i =1
(x i − 1)
2 − (x i − 1,5)
2
lnk
Elle est équivalente, après développement du crochet, à :
−
n
i =1
x i +
5n
4
2lnk
Pour l’instant, on cherche seulement à déterminer la forme de la région critique et l’expression des constantes qui apparaissent dans cette inégalité est sans intérêt. On remplace
donc cette inégalité par
n
i =1
x i k 1 , qui lui est équivalente. La région critique est donc
définie à partir de la valeur de la somme des observations. Cependant, comme c’est la loi
de la moyenne empirique X n qui est connue, il est préférable de faire intervenir cette
moyenne dans la définition de la région critique W, qui sera donc l’ensemble des points
(x 1 ,...,x n ) tels que :
x n C
Il reste à préciser la valeur de cette constante C, qui sera le seuil de cette région, à partir du risque de première espèce α qui est fixé. Il représente la probabilité de cette région,
lorsque l’hypothèse nulle est réalisée, et par conséquent, la condition qui définit C
s’écrit :
α = P (W |m = 1) = P
X n C|m = 1
Sous H 0 , la moyenne empirique X n suit la loi N
1,1/
√
n
, donc en centrant et réduisant on obtient la condition :
α = P
U
C − 1
1/
√
n
où U est une v.a. de loi N (0,1). Ainsi la constante C est définie par :
C = 1 +
u
√
n
où u est le fractile d’ordre 1 − α de la loi N (0,1). Pour un risque α = 0,05 on lit dans
la table 2 le fractile u = 1,6449 d’où une région critique définie pour n = 25 par :
W = {(x 1 ,...,x 25 ) /x 25 1,33}
Dans ce cas, la puissance du test est la probabilité de cette région dans l’hypothèse alternative, soit :
η = P
X 25 1,33|m = 1,5
= P
U
1,33 − 1,5
1/
√
25
= P (U −0,85) = 0,8023
Pour un risque α = 0,05 la condition η 0,90 conduit à choisir une taille d’échantillon n telle que :
η = P
X n 1 +
u
√
n
|m = 1,5
= P
U u −
√
n
2
0,90
272 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS