sion D 1 de le souscrire. Le coût moyen par pièce produite associé à la décision D 0 est
de 6θ , qui correspond au manque à gagner, car θ représente la valeur moyenne de X. Si
on prend la décision D 1 de souscrire le contrat d’entretien, le coût est de 0,4 par pièce,
plus le manque à gagner de 6 × 0,1 puisque la proportion de second choix est alors toujours de 10 %. Tout ceci est résumé dans le tableau de coûts suivant :
Tests d’hypothèses 271
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D 0
D 1
Probabilité a priori
H 0 : θ = 0,1
0,6
1
0,6
H 1 : θ = 0,2
0,6
1
0,4
La vraisemblance de l’échantillon (X 1 ,...,X n ) de cette loi de Bernoulli s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; θ ) = θ
n
i =1
x i (1 − θ )
n−
n
i =1
x i
avec x i ∈ {0,1} ,1 i n. On note L 0 la vraisemblance pour θ = 0,1 et L 1 pour
θ = 0,2. Les espérances a posteriori des coûts sont :
E [C (D 0 )] = 0,6π 0 + 1,2π 1 et E [C (D 1 )] = π 0 + π 1 = 1
La règle de Bayes conduit à souscrire le contrat si E [C (D 0 )] > E [C (D 1 )] soit :
0,6π 0 + 1,2π 1 > 1 ⇐⇒ 0,36L 0 + 0,48L 1 > 0,6L 0 + 0,4L 1
⇐⇒ 8L 1 > 24L 0
⇐⇒
ln2 − ln
8
9
n
i =1
x i > ln3 − nln
8
9
⇐⇒
n
i =1
x i >
ln3 − nln
8
9
ln
9
4
Pour un échantillon de taille n = 100, on décide de souscrire le contrat d’entretien si
100
i =1
x i > 15,9 soit, puisque les x i ne prennent que des valeurs entières,
100
i =1
x i 16.
Ayant observé
100
i =1
x i = 13, la règle de Bayes conduit à ne pas souscrire le contrat
d’entretien.
Exercice n°2
La vraisemblance s’écrit :
L (x 1 ,...,x n ; m) =
1
√
2π
n
exp
−
1
2
n
i =1
(x i − m)
2
La forme de la région critique, donnée par le théorème de Neyman et Pearson, est
L 0 /L 1 k, ce qui en passant aux logarithmes conduit à l’inégalité :