Exercice n°6
On dispose d’un échantillon de taille n = 15 d’une v.a. de loi normale centrée et de
variance
1
θ
pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : θ = 1
H 1 : θ>1
Déterminer la région critique d’un test UPP de risque de première espèce α et préciser
sa fonction puissance. Calculer cette puissance dans le cas où n = 15, pour θ = 3 et
α = 0,05 .
Exercice n°7
Le poids indiqué par une balance, lorsqu’on effectue la pesée d’un poids étalonné à
100 g, est une v.a. de loi normale d’espérance 100. Si la balance est bien réglée, l’écart
type a pour valeur σ = 5 et sinon cette valeur est inconnue, avec σ>5. Déterminer la
région critique d’un test UPP de risque de première espèce α = 0,05 basé sur un échantillon de n = 10 pesées et préciser sa fonction puissance.
Exercice n°8
Le nombre de pannes mensuelles d’un ascenceur est une v.a. qui suit une loi de Poisson
de paramètre λ = 2. Après avoir souscrit un contrat d’entretien, on pense que la valeur
du paramètre doit diminuer. Préciser la règle de décision à l’issue de six mois de contrat.
Exercice n°9
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type connu σ = 1 pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m 3
H 1 : m > 3
Déterminer la région critique du test le plus puissant de niveau α = 0,05 dans le cas où
n = 100 et préciser sa fonction puissance.
Exercice n°10
On dispose d’un échantillon de taille n = 12 d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type inconnu σ pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m 6
H 1 : m > 6
Déterminer la région critique d’un test de niveau α = 0,05. Peut-on déterminer sa fonction puissance ?
Exercice n°11
La durée de vie d’un certain matériel est une v.a. X qui suit une loi de Weibull de densité :
f (x; θ ) =
1
2θ
√
x
exp
−
√
x
θ
si x > 0
0
sinon
Tests d’hypothèses 269
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
On dispose d’un échantillon de taille n = 15 d’une v.a. de loi normale centrée et de
variance
1
θ
pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : θ = 1
H 1 : θ>1
Déterminer la région critique d’un test UPP de risque de première espèce α et préciser
sa fonction puissance. Calculer cette puissance dans le cas où n = 15, pour θ = 3 et
α = 0,05 .
Exercice n°7
Le poids indiqué par une balance, lorsqu’on effectue la pesée d’un poids étalonné à
100 g, est une v.a. de loi normale d’espérance 100. Si la balance est bien réglée, l’écart
type a pour valeur σ = 5 et sinon cette valeur est inconnue, avec σ>5. Déterminer la
région critique d’un test UPP de risque de première espèce α = 0,05 basé sur un échantillon de n = 10 pesées et préciser sa fonction puissance.
Exercice n°8
Le nombre de pannes mensuelles d’un ascenceur est une v.a. qui suit une loi de Poisson
de paramètre λ = 2. Après avoir souscrit un contrat d’entretien, on pense que la valeur
du paramètre doit diminuer. Préciser la règle de décision à l’issue de six mois de contrat.
Exercice n°9
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type connu σ = 1 pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m 3
H 1 : m > 3
Déterminer la région critique du test le plus puissant de niveau α = 0,05 dans le cas où
n = 100 et préciser sa fonction puissance.
Exercice n°10
On dispose d’un échantillon de taille n = 12 d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type inconnu σ pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m 6
H 1 : m > 6
Déterminer la région critique d’un test de niveau α = 0,05. Peut-on déterminer sa fonction puissance ?
Exercice n°11
La durée de vie d’un certain matériel est une v.a. X qui suit une loi de Weibull de densité :
f (x; θ ) =
1
2θ
√
x
exp
−
√
x
θ
si x > 0
0
sinon
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