
  
  
H 0 : θ =
4
3
H 1 : θ =
8
5
Déterminer la région critique du test de Neyman et Pearson et calculer sa puissance dans
le cas où n = 400 et α = 0,05 .
Exercice n°5
Soit X une variable aléatoire dont la densité a pour expression, pour x >λ:
f (x) =
1
θ
exp
−
x − λ
θ
et nulle sinon, où θ et λ sont deux paramètres strictement positifs.
1) Déterminer l'estimateur ˆ
λ n du paramètre λ par la méthode du maximum de vraisemblance construit à partir d'un échantillon (X 1 ,...,X n ) de X et étudier ses propriétés.
2) Déterminer l'estimateur ˆ
θ n du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance et étudier ses propriétés. Déterminer sa loi asymptotique.
3) Déterminer la région critique du test :
H 0 : λ = λ 0
H 1 : λ = λ 1
pour un risque de première espèce donné α, sachant que λ 1 >λ 0 . Déterminer le risque
de seconde espèce β et la puissance η.
4) Déterminer la région critique du test :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = θ 1
pour un risque de première espèce donné α, sachant que θ 1 >θ 0 . Pour déterminer
approximativement le seuil critique de ce test on utilisera l'estimateur ˆ
λ n et la loi asymptotique de ˆ
θ n . Calculer de la même façon une valeur approchée de la puissance de ce test.
5) Déterminer la région critique du test :
H 0 : θ = θ 0
H 1 : θ = /θ 0
Ce test est-il UPP ? Peut-on calculer sa puissance ?
6) Déterminer la région critique du test :
H 0 : θ θ 0
H 1 : θ>θ 0
Appliquer le théorème de Lehmann pour établir que ce test est UPP de niveau α. Montrer
que le risque de première espèce α est une fonction croissante de θ qui est maximum
pour θ = θ 0 .
268 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS