Énoncés
Exercice n°1
Une machine produit des pièces dont une proportion θ présente des défauts qui conduisent à classer ces pièces en second choix. En cas de bon fonctionnement la valeur est
θ = 0,1. Si la machine se dérègle, la valeur passe à θ = 0,2. On estime que la probabilité que la machine soit bien réglée est p 0 = 0,6. On peut souscrire un contrat d’entretien qui permet de maintenir la machine bien réglée. Le coût est de 0,4 euros par pièce
produite. Chaque pièce de second choix est vendue 6 euros de moins que les autres.
Après contrôle des 100 premières pièces produites, on constate que 13 d’entre elles doivent être classées en second choix. Quelle décision est-on conduit à prendre si on utilise
la méthode de Bayes ?
Exercice n°2
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type connu σ = 1 pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m = 1
H 1 : m = 1,5
Déterminer la région critique du test de Neyman et Pearson et calculer sa puissance dans
le cas où n = 25 et α = 0,05 . Quelle devrait être la taille d’échantillon minimum pour
que cette puissance soit supérieure à 0,90 ?
Exercice n°3
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale centrée,
d’écart type inconnu σ pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : σ = 1
H 1 : σ = 2
Déterminer la région critique du test de Neyman et Pearson et calculer sa puissance dans
le cas où n = 15 et α = 0,05 .
Exercice n°4
Le revenu annuel des individus d’une population est distribué selon une loi de Pareto de
densité :
f (x; θ ) =
θ
x θ +1 si x 1
0
sinon
On dispose d’un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) de cette loi pour choisir entre les deux hypothèses :
Tests d’hypothèses 267
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Exercices
Exercice n°1
Une machine produit des pièces dont une proportion θ présente des défauts qui conduisent à classer ces pièces en second choix. En cas de bon fonctionnement la valeur est
θ = 0,1. Si la machine se dérègle, la valeur passe à θ = 0,2. On estime que la probabilité que la machine soit bien réglée est p 0 = 0,6. On peut souscrire un contrat d’entretien qui permet de maintenir la machine bien réglée. Le coût est de 0,4 euros par pièce
produite. Chaque pièce de second choix est vendue 6 euros de moins que les autres.
Après contrôle des 100 premières pièces produites, on constate que 13 d’entre elles doivent être classées en second choix. Quelle décision est-on conduit à prendre si on utilise
la méthode de Bayes ?
Exercice n°2
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale d’espérance inconnue m et d’écart type connu σ = 1 pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : m = 1
H 1 : m = 1,5
Déterminer la région critique du test de Neyman et Pearson et calculer sa puissance dans
le cas où n = 25 et α = 0,05 . Quelle devrait être la taille d’échantillon minimum pour
que cette puissance soit supérieure à 0,90 ?
Exercice n°3
On dispose d’un échantillon (X 1 ,...,X n ) d’une v.a. X qui suit une loi normale centrée,
d’écart type inconnu σ pour choisir entre les deux hypothèses :
H 0 : σ = 1
H 1 : σ = 2
Déterminer la région critique du test de Neyman et Pearson et calculer sa puissance dans
le cas où n = 15 et α = 0,05 .
Exercice n°4
Le revenu annuel des individus d’une population est distribué selon une loi de Pareto de
densité :
f (x; θ ) =
θ
x θ +1 si x 1
0
sinon
On dispose d’un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) de cette loi pour choisir entre les deux hypothèses :
Tests d’hypothèses 267
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