Construire un test consiste à établir une règle de décision, c’est-à-dire une application φ
de R
n dans {0,1} . Pour toute réalisation (x 1 ,...,x n ) de l’échantillon telle que
φ (x 1 ,...,x n ) = 1 on rejette l’hypothèse H 0 . Pour toute réalisation (x 1 ,...,x n ) de
l’échantillon telle que φ (x 1 ,...,x n ) = 0 on accepte l’hypothèse H 0 . La fonction de test
φ est donc la fonction indicatrice de la région critique W : φ = 1 W . Pour un test entre
deux hypothèses simples H 0 : θ = θ 0 contre H 1 : θ = θ 1 , le risque de première espèce
est α = E θ 0 [φ (X 1 ,. . . ,X n )] et la puissance η = E θ 1 [φ (X 1 ,...,X n )] .
Quand φ est à valeurs dans {0,1} le test est dit pur ou déterministe. Dans le cas d’une
loi discrète il n’est pas toujours possible de trouver une région critique W de probabilité
exacte α. Dans ce cas, si on souhaite que le risque de première espèce soit exactement
égal à α, il faut utiliser un test mixte. La fonction φ est cette fois à valeurs dans [0,1] et
on accepte toujours H 1 pour φ = 1 et H 0 pour φ = 0. Pour φ = p ∈ ]0,1[ on effectue
un tirage au sort où on accepte l’hypothèse H 1 avec une probabilité p.
En présence d’hypothèses multiples H 0 : θ ∈ 0 contre H 1 : θ ∈ 1 , le risque de
première espèce est une fonction de θ définie par α = E θ (φ) pour θ ∈ 0 . On définit
alors la taille τ du test par :
τ = sup
θ ∈ 0
E θ (φ)
Le test est dit de niveau α si τ α. La puissance du test est la fonction de θ définie par η = E θ (φ) pour θ ∈ 1 . Le graphe de la fonction définie pour tout θ de par
ϕ (θ ) = 1 − E θ (φ) s’appelle courbe d’efficacité.
Un test φ de niveau α est dit uniformément plus puissant qu’un autre test φ
′ de même
niveau α si, pour tout θ ∈ 1 on a E θ (φ) E θ
φ
′
.
Un test de niveau α est dit sans biais si, pour tout θ ∈ 1 , on a E θ (φ) α.
La famille exponentielle à un paramètre dont la densité s’écrit sous la forme :
f (x; θ ) = a (θ ) b (x) exp [α (θ ) T (x)]
est à rapport des vraisemblances monotone si la fonction α est une fonction monotone
du paramètre θ. Si α est croissante, on retient la statistique T n =
n
i =1
T (x i ) , et si α est
décroissante, on retient la statistique T n =−
n
i =1
T (x i ) .
266 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
que les deux hypothèses à confronter ne sont pas équivalentes et que l’hypothèse nulle est privilégiée, étant choisie comme celle dont le rejet à tort
est le plus préjudiciable. Notons enfin l’importance du choix de la valeur du
risque de première espèce, dont peut dépendre la conclusion tirée d’un
échantillon donné.
Compléments